Mathématiques — Première générale

Les variables aléatoires

Loi de probabilité · Espérance · Variance · Écart-type · Transformation affine

Sommaire

  1. Rappels de probabilités
  2. Variable aléatoire : définition
  3. Loi de probabilité
  4. Espérance, Variance, Écart-type
  5. Transformation affine $aX + b$
  6. À retenir
  7. Exercices d'application

1Rappels de probabilités

Vocabulaire clé
  • Une issue est un résultat possible d'une expérience aléatoire.
  • L'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues.
  • Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$.
  • L'événement impossible est $\emptyset$, l'événement certain est $\Omega$.
Formules utiles
  • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
  • $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
  • En cas d'équiprobabilité : $\displaystyle P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$
Exemple — Lancer d'un dé
$\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$, l'événement $A$ = « résultat pair » $= \{2;4;6\}$, donc $P(A) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$.

2Variable aléatoire

Définition
Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ : $$X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$$ À chaque issue de l'expérience, elle associe un nombre réel.
Attention. Une variable aléatoire n'est pas un nombre : c'est une fonction. On la note par une lettre majuscule : $X$, $Y$, $Z$…

Notations

  • $\{X = x\}$ désigne l'événement « les issues dont l'image par $X$ est $x$ ».
  • $X(\Omega)$ est l'ensemble des valeurs prises par $X$.
  • On note aussi $\{X \geq a\}$, $\{X \leq a\}$, $\{X > a\}$, $\{X < a\}$.
Exemple — Jeu avec un dé (gain algébrique)
Règle : résultat pair → gain $2$€ ; résultat $1$ → gain $3$€ ; résultat $3$ ou $5$ → perte $4$€.

$X(1)=3,\quad X(2)=X(4)=X(6)=2,\quad X(3)=X(5)=-4$

$X(\Omega) = \{-4\,;\,2\,;\,3\}$ et par exemple $\{X=2\} = \{2;4;6\}$.

3Loi de probabilité

Définition
La loi de probabilité de $X$ est la fonction qui, à chaque valeur $x_i$, associe $p_i = P(X = x_i)$.
On la présente dans un tableau :
$x_i$$x_1$$x_2$$\cdots$$x_n$
$P(X=x_i)$$p_1$$p_2$$\cdots$$p_n$
Propriété fondamentale $$\sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$$ Si la somme ne vaut pas $1$, il y a une erreur dans les calculs.
Exemple — Loi du jeu de dé
Chaque face est équiprobable, de probabilité $\tfrac{1}{6}$ : $$P(X=2)=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2},\quad P(X=3)=\tfrac{1}{6},\quad P(X=-4)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$$
$x_i$$-4$$2$$3$
$P(X=x_i)$$\tfrac{1}{3}$$\tfrac{1}{2}$$\tfrac{1}{6}$
Vérification : $\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6} = \tfrac{2+3+1}{6} = 1$ ✓
Méthode — Jeu de 32 cartes
Règle : cœur → $+2$€ ; roi → $+5$€ ; autre → $-1$€ (le roi de cœur cumule : $+7$€).

Étape 1 : valeurs possibles de $X$ : $-1,\,2,\,5,\,7$.
Étape 2 : probabilités (32 cartes équiprobables) :
  • $P(X=7)=\tfrac{1}{32}$ (roi de cœur)
  • $P(X=5)=\tfrac{3}{32}$ (3 autres rois)
  • $P(X=2)=\tfrac{7}{32}$ (7 autres cœurs)
  • $P(X=-1)=\tfrac{21}{32}$ (32−1−3−7 = 21 cartes)
Étape 3 :
$x_i$$-1$$2$$5$$7$
$P(X=x_i)$$\tfrac{21}{32}$$\tfrac{7}{32}$$\tfrac{3}{32}$$\tfrac{1}{32}$
Vérification : $\tfrac{21+7+3+1}{32}=\tfrac{32}{32}=1$ ✓

4Espérance, Variance et Écart-type

Définitions

Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1,\ldots,x_n$ avec les probabilités $p_1,\ldots,p_n$.

Espérance : $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n$$

Variance (formule de König-Huygens) : $$V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i^2 - \bigl[E(X)\bigr]^2$$

Écart-type : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Interprétations
  • L'espérance est la valeur moyenne obtenue si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois (loi des grands nombres).
  • La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus $\sigma$ est grand, plus les résultats sont dispersés.
  • Si $E(X) > 0$ : le jeu est favorable au joueur. Si $E(X) = 0$ : il est équitable. Si $E(X) < 0$ : il est défavorable.
Exemple — Jeu de 32 cartes (suite)

Espérance :

$$E(X) = (-1)\tfrac{21}{32} + 2\cdot\tfrac{7}{32} + 5\cdot\tfrac{3}{32} + 7\cdot\tfrac{1}{32} = \frac{-21+14+15+7}{32} = \frac{15}{32} \approx 0{,}47 \text{ €}$$

Variance :

$$\sum p_i x_i^2 = \tfrac{21}{32}(1)+\tfrac{7}{32}(4)+\tfrac{3}{32}(25)+\tfrac{1}{32}(49)=\frac{21+28+75+49}{32}=\frac{173}{32}$$ $$V(X)=\frac{173}{32}-\left(\frac{15}{32}\right)^2 = \frac{173}{32}-\frac{225}{1024}\approx 5{,}41-0{,}22\approx 5{,}19$$

Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{5{,}19} \approx 2{,}28$ €

Malgré une espérance positive ($\approx 0{,}47$€), l'écart-type élevé ($\approx 2{,}28$) montre que les gains sont très dispersés.

5Transformation affine : $Y = aX + b$

Propriété
Soit $X$ une variable aléatoire et $a,b \in \mathbb{R}$. On pose $Y = aX + b$. Alors : $$E(aX+b) = a\,E(X) + b$$ $$V(aX+b) = a^2\,V(X)$$ $$\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$$ Ajouter une constante $b$ décale toutes les valeurs sans changer la dispersion. Multiplier par $a$ dilate l'échelle (la variance est multipliée par $a^2$).
Variable de transition — Méthode pour simplifier les calculs

Lorsque les valeurs de $X$ sont « peu pratiques », on pose $Y = aX + b$ pour obtenir des valeurs simples, on calcule sur $Y$, puis on revient à $X$.

Exemple — Diamètres de billes (en cm)
$x_i$$1{,}298$$1{,}299$$1{,}300$$1{,}301$$1{,}302$
$P$$0{,}2$$0{,}1$$0{,}2$$0{,}4$$0{,}1$
On pose $Y = 1000X - 1300$, ce qui donne :
$y_i$$-2$$-1$$0$$1$$2$
$P$$0{,}2$$0{,}1$$0{,}2$$0{,}4$$0{,}1$
Calculs sur $Y$ : $$E(Y) = (-2)(0{,}2)+(-1)(0{,}1)+0(0{,}2)+1(0{,}4)+2(0{,}1) = 0{,}1$$ $$V(Y) = 0{,}2(-2-0{,}1)^2+0{,}1(-1-0{,}1)^2+0{,}2(0-0{,}1)^2+0{,}4(1-0{,}1)^2+0{,}1(2-0{,}1)^2 = 1{,}69$$ Retour à $X$ (puisque $X = \frac{Y+1300}{1000} = \frac{1}{1000}Y + 1{,}3$) : $$E(X) = \frac{1}{1000}E(Y)+1{,}3 = \frac{0{,}1}{1000}+1{,}3 = 1{,}3001 \text{ cm}$$ $$\sigma(X) = \frac{1}{1000}\sigma(Y) = \frac{\sqrt{1{,}69}}{1000} = \frac{1{,}3}{1000} = 0{,}0013 \text{ cm}$$

À retenir

  • $X$ est une fonction $X : \Omega \to \mathbb{R}$, pas un nombre.
  • La loi vérifie toujours : $\displaystyle\sum p_i = 1$.
  • Espérance : $E(X) = \displaystyle\sum p_i x_i$ (valeur moyenne sur le long terme).
  • Variance (König-Huygens) : $V(X) = \displaystyle\sum p_i x_i^2 - [E(X)]^2$.
  • Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (mesure de dispersion).
  • Transformation affine : $E(aX+b) = aE(X)+b$ et $V(aX+b) = a^2 V(X)$.

7Exercices d'application

Exercice 1 — Somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés et on note $X$ la somme des deux faces.

  1. Déterminer les valeurs prises par $X$.
  2. Établir la loi de probabilité de $X$.
  3. Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.

Exercice 2 — Urne de boules

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire une boule au hasard.
Une boule rouge rapporte $3$€, une noire fait perdre $2$€. On note $X$ le gain.

  1. Donner la loi de probabilité de $X$.
  2. Le jeu est-il favorable, équitable ou défavorable ? Justifier.
  3. Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$.

Exercice 3 — Transformation affine

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X)=4$ et $V(X)=9$. On pose $Y = 2X-5$.

Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$ sans connaître la loi de $X$.

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Un peu d'histoire

En 1654, Blaise Pascal et Pierre de Fermat échangent une correspondance sur les jeux de hasard. De ces travaux naît le calcul des probabilités, dont les variables aléatoires sont l'un des outils centraux.