1. Rappels de probabilités
Vocabulaire clé
- Une issue est un résultat possible d'une expérience aléatoire.
- L'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues.
- Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$.
- L'événement impossible est $\emptyset$, l'événement certain est $\Omega$.
Formules utiles
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
- En cas d'équiprobabilité : $\displaystyle P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$
Exemple — Lancer d'un dé
$\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$, l'événement $A$ = « résultat pair » $= \{2;4;6\}$, donc $P(A) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$.
2. Variable aléatoire
Définition
Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ :
$$X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$$
À chaque issue de l'expérience, elle associe un nombre réel.
⚠ Attention
Une variable aléatoire n'est pas un nombre : c'est une fonction. On la note par une lettre majuscule : $X$, $Y$, $Z$…
Notations
- $\{X = x\}$ désigne l'événement « les issues dont l'image par $X$ est $x$ ».
- $X(\Omega)$ est l'ensemble des valeurs prises par $X$.
- On note aussi $\{X \geq a\}$, $\{X \leq a\}$, $\{X > a\}$, $\{X < a\}$.
Exemple — Jeu avec un dé (gain algébrique)
Règle : résultat pair → gain $2$€ ; résultat $1$ → gain $3$€ ; résultat $3$ ou $5$ → perte $4$€.
$X(1)=3,\quad X(2)=X(4)=X(6)=2,\quad X(3)=X(5)=-4$
$X(\Omega) = \{-4\,;\,2\,;\,3\}$ et par exemple $\{X=2\} = \{2;4;6\}$.
$X(1)=3,\quad X(2)=X(4)=X(6)=2,\quad X(3)=X(5)=-4$
$X(\Omega) = \{-4\,;\,2\,;\,3\}$ et par exemple $\{X=2\} = \{2;4;6\}$.
3. Loi de probabilité
Définition
La loi de probabilité de $X$ est la fonction qui, à chaque valeur $x_i$, associe $p_i = P(X = x_i)$.
On la présente dans un tableau :
On la présente dans un tableau :
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\cdots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\cdots$ | $p_n$ |
Propriété fondamentale
$$\sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$$
Si la somme ne vaut pas $1$, il y a une erreur dans les calculs.
Exemple — Loi du jeu de dé
Chaque face est équiprobable, de probabilité $\tfrac{1}{6}$ :
$$P(X=2)=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2},\quad P(X=3)=\tfrac{1}{6},\quad P(X=-4)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}$$
Vérification : $\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6} = \tfrac{2+3+1}{6} = 1$ ✓
| $x_i$ | $-4$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\tfrac{1}{3}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{1}{6}$ |
Méthode — Jeu de 32 cartes
Règle : cœur → $+2$€ ; roi → $+5$€ ; autre → $-1$€ (le roi de cœur cumule : $+7$€).
Étape 1 : valeurs possibles de $X$ : $-1,\,2,\,5,\,7$.
Étape 2 : probabilités (32 cartes équiprobables) :
Vérification : $\tfrac{21+7+3+1}{32}=\tfrac{32}{32}=1$ ✓
Étape 1 : valeurs possibles de $X$ : $-1,\,2,\,5,\,7$.
Étape 2 : probabilités (32 cartes équiprobables) :
- $P(X=7)=\tfrac{1}{32}$ (roi de cœur)
- $P(X=5)=\tfrac{3}{32}$ (3 autres rois)
- $P(X=2)=\tfrac{7}{32}$ (7 autres cœurs)
- $P(X=-1)=\tfrac{21}{32}$ (32−1−3−7 = 21 cartes)
| $x_i$ | $-1$ | $2$ | $5$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $\tfrac{21}{32}$ | $\tfrac{7}{32}$ | $\tfrac{3}{32}$ | $\tfrac{1}{32}$ |
4. Espérance, Variance et Écart-type
Définitions
Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs $x_1,\ldots,x_n$ avec les probabilités $p_1,\ldots,p_n$.
Espérance : $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots + p_n x_n$$
Variance (formule de König-Huygens) : $$V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i^2 - \bigl[E(X)\bigr]^2$$
Écart-type : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$
Interprétations
- L'espérance est la valeur moyenne obtenue si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois (loi des grands nombres).
- La variance et l'écart-type mesurent la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus $\sigma$ est grand, plus les résultats sont dispersés.
- Si $E(X) > 0$ : le jeu est favorable au joueur. Si $E(X) = 0$ : il est équitable. Si $E(X) < 0$ : il est défavorable.
Exemple — Jeu de 32 cartes (suite)
Espérance :
$$E(X) = (-1)\tfrac{21}{32} + 2\cdot\tfrac{7}{32} + 5\cdot\tfrac{3}{32} + 7\cdot\tfrac{1}{32} = \frac{-21+14+15+7}{32} = \frac{15}{32} \approx 0{,}47 \text{ €}$$Variance :
$$\sum p_i x_i^2 = \tfrac{21}{32}(1)+\tfrac{7}{32}(4)+\tfrac{3}{32}(25)+\tfrac{1}{32}(49)=\frac{21+28+75+49}{32}=\frac{173}{32}$$ $$V(X)=\frac{173}{32}-\left(\frac{15}{32}\right)^2 = \frac{173}{32}-\frac{225}{1024}\approx 5{,}41-0{,}22\approx 5{,}19$$Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{5{,}19} \approx 2{,}28$ €
Malgré une espérance positive ($\approx 0{,}47$€), l'écart-type élevé ($\approx 2{,}28$) montre que les gains sont très dispersés.5. Transformation affine : $Y = aX + b$
Propriété
Soit $X$ une variable aléatoire et $a,b \in \mathbb{R}$. On pose $Y = aX + b$. Alors :
$$E(aX+b) = a\,E(X) + b$$
$$V(aX+b) = a^2\,V(X)$$
$$\sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)$$
Ajouter une constante $b$ décale toutes les valeurs sans changer la dispersion. Multiplier par $a$ dilate l'échelle (la variance est multipliée par $a^2$).
Méthode — Variable de transition
Lorsque les valeurs de $X$ sont « peu pratiques », on pose $Y = aX + b$ pour obtenir des valeurs simples, on calcule sur $Y$, puis on revient à $X$.
Exemple — Diamètres de billes (en cm)| $x_i$ | $1{,}298$ | $1{,}299$ | $1{,}300$ | $1{,}301$ | $1{,}302$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ | $0{,}2$ | $0{,}4$ | $0{,}1$ |
| $y_i$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $0{,}2$ | $0{,}1$ | $0{,}2$ | $0{,}4$ | $0{,}1$ |
6. À retenir
- $X$ est une fonction $X : \Omega \to \mathbb{R}$, pas un nombre.
- La loi vérifie toujours : $\displaystyle\sum p_i = 1$.
- Espérance : $E(X) = \displaystyle\sum p_i x_i$ (valeur moyenne sur le long terme).
- Variance (König-Huygens) : $V(X) = \displaystyle\sum p_i x_i^2 - [E(X)]^2$.
- Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (mesure de dispersion).
- Transformation affine : $E(aX+b) = aE(X)+b$ et $V(aX+b) = a^2 V(X)$.
7. Exercices d'application
Exercice 1 — Somme de deux dés
On lance deux dés équilibrés et on note $X$ la somme des deux faces.
- Déterminer les valeurs prises par $X$.
- Établir la loi de probabilité de $X$.
- Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.
Exercice 2 — Urne de boules
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules noires. On tire une boule au hasard.
Une boule rouge rapporte $3$€, une noire fait perdre $2$€. On note $X$ le gain.
- Donner la loi de probabilité de $X$.
- Le jeu est-il favorable, équitable ou défavorable ? Justifier.
- Calculer $V(X)$ puis $\sigma(X)$.
Exercice 3 — Transformation affine
Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X)=4$ et $V(X)=9$. On pose $Y = 2X-5$.
Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ et $\sigma(Y)$ sans connaître la loi de $X$.