Le second degré – Fiche de cours Première

Un peu d'histoire. La résolution des équations du second degré remonte aux Babyloniens (vers le VIII^e siècle av. J.-C.). La méthode générale est formalisée au IX^e siècle par Al-Khwârizmî, dont le nom latinisé a donné le mot « algorithme ». Le second degré apparaît dès qu'on modélise une trajectoire, une aire à optimiser ou l'évolution d'une population.

Objectifs du chapitre.

Reconnaître un trinôme et passer d'une forme à l'autre (développée, canonique, factorisée) ;
déterminer le sommet, l'axe de symétrie et les variations d'une parabole ;
résoudre une équation du second degré à l'aide du discriminant \(\Delta\) ;
factoriser un trinôme et étudier son signe (inéquations, position de courbes).

1. Fonction polynôme du second degré

1.1 Définition

Définition

On appelle fonction polynôme du second degré (ou trinôme du second degré) toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) qui peut s'écrire sous la forme développée : \[ f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a,b,c \in \mathbb{R},\ a \neq 0. \] \(a\) est le coefficient de \(x^2\), \(b\) celui de \(x\), \(c\) le terme constant.

Remarque : la condition \(a\neq 0\) est essentielle : si \(a=0\), la fonction est affine (degré 1). Un trinôme est toujours défini sur \(\mathbb{R}\).

Exemple — trinômes et non-trinômes

\(f(x)=3x^2-7x+3\), \(\;g(x)=\tfrac12 x^2-5x+\tfrac35\), \(\;h(x)=4-2x^2\) sont des trinômes.
\(k(x)=(x-4)(5-2x)\) est un trinôme (le terme en \(x^2\) subsiste après développement).
\(m(x)=5x-3\) est de degré 1 ; \(\;n(x)=5x^4-7x^3+3x-8\) est de degré 4.
\((x+1)^2-(x-1)^2 = 4x\) n'est pas un trinôme (les \(x^2\) se simplifient).

1.2 Les trois formes d'un trinôme

Un même trinôme s'écrit de trois façons, chacune adaptée à une question précise.

Forme	Écriture	Utile pour…
Développée	\(ax^2+bx+c\)	lire \(a,b,c\) ; calculer \(\Delta\)
Canonique	\(a(x-\alpha)^2+\beta\)	le sommet, les variations, l'extremum
Factorisée	\(a(x-x_1)(x-x_2)\)	les racines, le signe, les solutions

2. Forme canonique

Propriété — forme canonique

Tout trinôme \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\)) s'écrit sous forme canonique : \[ f(x)=a\,(x-\alpha)^2+\beta \quad\text{avec}\quad \alpha=-\frac{b}{2a},\quad \beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}, \] où \(\Delta=b^2-4ac\) est le discriminant.

Démonstration (à connaître)

On factorise par \(a\), puis on fait apparaître un début d'identité remarquable : \[ \begin{aligned} ax^2+bx+c &= a\!\left(x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}\right) = a\!\left(\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2+\tfrac{c}{a}\right)\\ &= a\!\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}. \end{aligned} \] On reconnaît \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=-\tfrac{b}{2a}\) et \(\beta=-\tfrac{\Delta}{4a}\). ∎

Méthode — par complétion du carré

Mettre \(f(x)=2x^2-20x+10\) sous forme canonique. \[ \begin{aligned} f(x) &= 2(x^2-10x)+10 = 2(x^2-10x+25-25)+10\\ &= 2\big((x-5)^2-25\big)+10 = 2(x-5)^2-40. \end{aligned} \] On a complété le carré car \(x^2-10x\) est le début de \((x-5)^2\). Ici \(\alpha=5,\ \beta=-40\).

3. Variations et représentation graphique

Propriété — courbe, sommet, axe de symétrie

La courbe d'un trinôme est une parabole.

Son sommet a pour coordonnées \(S(\alpha\,;\,\beta)\), avec \(\alpha=-\tfrac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\).
Son axe de symétrie est la droite verticale \(x=\alpha\).

Si \(a>0\) : branches vers le haut.
Minimum \(\beta\) en \(x=\alpha\).

Si \(a<0\) : branches vers le bas.
Maximum \(\beta\) en \(x=\alpha\).

\(x\)	\(-\infty\)	\(\alpha\)	\(+\infty\)
\(f\) si \(a>0\)	↘	\(\beta\)	↗
\(f\) si \(a<0\)	↗	\(\beta\)	↘

Méthode — caractéristiques d'une parabole

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de \(y=2x^2-12x+1\).
Ici \(a=2,\ b=-12,\ c=1\). L'axe de symétrie : \(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-12}{4}=3.\)
Sommet : \(\big(3\,;\,f(3)\big)\) avec \(f(3)=2(3)^2-12(3)+1=-17\), donc \(S(3\,;-17)\). Comme \(a=2>0\), c'est un minimum.

4. Équation du second degré

4.1 Discriminant et racines

Définition

Résoudre \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)), c'est trouver les réels qui l'annulent : les racines du trinôme. Le nombre \(\;\Delta=b^2-4ac\;\) est le discriminant.

Propriété — les trois cas

Si \(\Delta<0\) : aucune racine réelle.
Si \(\Delta=0\) : une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).
Si \(\Delta>0\) : deux racines distinctes \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\).

Remarque : la forme canonique explique tout. Résoudre \(ax^2+bx+c=0\) revient à \(\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2=\tfrac{\Delta}{4a^2}\). Si \(\Delta<0\), un carré ne peut égaler un nombre négatif : pas de solution.

Méthode — résoudre une équation

a) \(2x^2-x-6=0\) : \(a=2,b=-1,c=-6\), \(\Delta=1+48=49>0\). \(x_1=\dfrac{1-7}{4}=-\dfrac32,\quad x_2=\dfrac{1+7}{4}=2.\quad S=\{-\tfrac32\,;2\}.\)

b) \(x^2-3x+4=0\) : \(\Delta=9-16=-7<0\), donc \(S=\varnothing\).

c) \(2x^2-12x+18=0\) : \(\Delta=144-144=0\), racine double \(x_0=\dfrac{12}{4}=3\), \(S=\{3\}.\)

Astuce : il n'est pas toujours utile de calculer \(\Delta\) (ex. \(4x^2-9=0\), \(5x^2-4x=0\)). Si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, alors \(-4ac>0\) donc \(\Delta>0\) : il y a forcément deux racines.

4.2 Somme et produit des racines

Propriété — relations racines / coefficients

Lorsqu'il y a deux racines \(x_1,x_2\) (\(\Delta\geq 0\)) : \[ S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\qquad\text{et}\qquad P=x_1\times x_2=\frac{c}{a}. \] Réciproquement, deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont solutions de \(x^2-Sx+P=0\).

Exemple — racine évidente

\(x_1=1\) est racine évidente de \(2x^2-5x+3=0\) (car \(2-5+3=0\)). Comme \(P=x_1x_2=\tfrac{c}{a}=\tfrac32\), on a \(x_2=\tfrac32\).

5. Factorisation d'un trinôme

Propriété — factorisation selon \(\Delta\)

Si \(\Delta>0\) : \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Si \(\Delta=0\) : \(f(x)=a(x-x_0)^2\).
Si \(\Delta<0\) : le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\).

Méthode — factoriser

a) \(4x^2+19x-5\) : \(\Delta=361+80=441\), racines \(x_1=-5\), \(x_2=\tfrac14\). \[ 4x^2+19x-5 = 4(x+5)\!\left(x-\tfrac14\right)=(x+5)(4x-1). \]

b) \(9x^2-6x+1\) : \(\Delta=0\), racine double \(x_0=\tfrac13\). \[ 9x^2-6x+1 = 9\!\left(x-\tfrac13\right)^2=(3x-1)^2. \]

6. Signe d'un trinôme

Propriété — règle du signe

Un trinôme \(ax^2+bx+c\) est du signe de \(a\) partout, sauf entre ses racines (quand elles existent).

\(\Delta<0\)	\(x\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
	\(f(x)\)	signe de \(a\)

\(\Delta=0\)	\(x\)	\(-\infty\)	\(x_0\)	\(+\infty\)
	\(f(x)\)	signe de \(a\)	\(0\)	signe de \(a\)

\(\Delta>0\)	\(x\)	\(-\infty\)	\(x_1\)		\(x_2\)	\(+\infty\)
	\(f(x)\)	signe de \(a\)	\(0\)	signe opposé	\(0\)	signe de \(a\)

Méthode — inéquation du second degré

Résoudre \(x^2+3x-5 < -x+2\).

Tout à gauche : \(x^2+4x-7<0\).
Signe de \(x^2+4x-7\) : \(\Delta=16+28=44>0\), racines \(x_{1,2}=-2\mp\sqrt{11}\).
Comme \(a=1>0\), le trinôme est négatif entre les racines : \[ S=\left]\,-2-\sqrt{11}\;;\;-2+\sqrt{11}\,\right[. \]

7. Application : position relative de deux courbes

Méthode — comparer deux courbes

Soit \(f(x)=-x^2+8x-11\) et \(g(x)=x-1\). Étudier la position de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
On étudie le signe de la différence : \[ f(x)-g(x)=-x^2+7x-10. \] \(\Delta=49-40=9>0\), racines \(x_1=2\), \(x_2=5\). Comme \(a=-1<0\), la différence est positive entre les racines.

\(x\)	\(-\infty\)	\(2\)		\(5\)	\(+\infty\)
\(f-g\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)

Conclusion : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \(]2\,;5[\), en dessous sur \(]-\infty\,;2[\cup]5\,;+\infty[\), et elles se croisent en \(x=2\) et \(x=5\).

8. Stratégie et prolongements

Méthode — réflexe de résolution

Face à une équation du second degré, essayer dans l'ordre :

une racine évidente (\(\pm1,\pm2,\dots\)) ou une factorisation directe ;
une identité remarquable + équation produit nul ;
sinon, le discriminant \(\Delta\).

Pour une inéquation, se ramener toujours à un tableau de signe.

8.1 Polynômes se ramenant au second degré

Bicarrée \(ax^4+bx^2+c=0\) : poser \(X=x^2\ (X\geq 0)\).
Avec \(\sqrt{x}\) : poser \(X=\sqrt{x}\ (X\geq 0,\ x\geq 0)\).
Avec \(\tfrac1x\) : poser \(X=\tfrac1x\ (x\neq 0)\).
Degré 3 avec racine évidente \(x_0\) : \(P(x)=(x-x_0)(mx^2+px+q)\).
Équations rationnelles : domaine, même dénominateur, puis trinôme au numérateur.

8.2 Optimisation géométrique

Méthode — démarche

Choisir l'inconnue à optimiser et préciser son domaine.
Exprimer la quantité à optimiser comme un trinôme.
Forme canonique : le sommet donne l'extremum cherché.

9. À retenir

Trois formes : développée \(ax^2+bx+c\), canonique \(a(x-\alpha)^2+\beta\), factorisée \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
Sommet : \(S(\alpha\,;\beta)\), \(\alpha=-\tfrac{b}{2a}\), \(\beta=-\tfrac{\Delta}{4a}\) ; axe \(x=\alpha\).
Discriminant : \(\Delta=b^2-4ac\) — \(\Delta<0\) : 0 racine ; \(\Delta=0\) : 1 double ; \(\Delta>0\) : 2 racines.
Racines : \(x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}\) ; \(\;S=-\tfrac{b}{a},\ P=\tfrac{c}{a}\).
Signe : du signe de \(a\) sauf entre les racines.

10. Exercices d'application

À vous de jouer

Exercice 1. Mettre sous forme canonique, puis donner le sommet et le sens de variation de \(f(x)=-x^2+4x\) et \(g(x)=3x^2+6x-1\).

Exercice 2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(x^2-5x+6=0\) ; b) \(3x^2+2x+1=0\) ; c) \(4x^2-12x+9=0\).

Exercice 3. Factoriser \(2x^2+3x-2\), puis résoudre \(2x^2+3x-2\geq 0\).

Exercice 4. On dispose de 40 m de grillage pour un enclos rectangulaire. Quelle largeur maximise l'aire ? (Poser la largeur \(x\), exprimer l'aire, mettre sous forme canonique.)