Un peu d'histoire. La résolution des équations du second degré remonte
aux Babyloniens (vers le VIIIe siècle av. J.-C.). La méthode générale est
formalisée au IXe siècle par Al-Khwârizmî, dont le nom latinisé a
donné le mot « algorithme ». Le second degré apparaît dès qu'on modélise une trajectoire,
une aire à optimiser ou l'évolution d'une population.
Objectifs du chapitre.
Reconnaître un trinôme et passer d'une forme à l'autre (développée, canonique, factorisée) ;
déterminer le sommet, l'axe de symétrie et les variations d'une parabole ;
résoudre une équation du second degré à l'aide du discriminant \(\Delta\) ;
factoriser un trinôme et étudier son signe (inéquations, position de courbes).
1. Fonction polynôme du second degré
1.1 Définition
Définition
On appelle fonction polynôme du second degré (ou trinôme du
second degré) toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) qui peut s'écrire
sous la forme développée :
\[ f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a,b,c \in \mathbb{R},\ a \neq 0. \]
\(a\) est le coefficient de \(x^2\), \(b\) celui de \(x\), \(c\) le terme constant.
Remarque : la condition \(a\neq 0\) est essentielle :
si \(a=0\), la fonction est affine (degré 1). Un trinôme est toujours défini sur \(\mathbb{R}\).
Exemple — trinômes et non-trinômes
\(f(x)=3x^2-7x+3\), \(\;g(x)=\tfrac12 x^2-5x+\tfrac35\), \(\;h(x)=4-2x^2\) sont des trinômes.
\(k(x)=(x-4)(5-2x)\) est un trinôme (le terme en \(x^2\) subsiste après développement).
\(m(x)=5x-3\) est de degré 1 ; \(\;n(x)=5x^4-7x^3+3x-8\) est de degré 4.
\((x+1)^2-(x-1)^2 = 4x\) n'est pas un trinôme (les \(x^2\) se simplifient).
1.2 Les trois formes d'un trinôme
Un même trinôme s'écrit de trois façons, chacune adaptée à une question précise.
Forme
Écriture
Utile pour…
Développée
\(ax^2+bx+c\)
lire \(a,b,c\) ; calculer \(\Delta\)
Canonique
\(a(x-\alpha)^2+\beta\)
le sommet, les variations, l'extremum
Factorisée
\(a(x-x_1)(x-x_2)\)
les racines, le signe, les solutions
2. Forme canonique
Propriété — forme canonique
Tout trinôme \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\)) s'écrit sous forme canonique :
\[ f(x)=a\,(x-\alpha)^2+\beta \quad\text{avec}\quad \alpha=-\frac{b}{2a},\quad \beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}, \]
où \(\Delta=b^2-4ac\) est le discriminant.
Démonstration (à connaître)
On factorise par \(a\), puis on fait apparaître un début d'identité remarquable :
\[
\begin{aligned}
ax^2+bx+c &= a\!\left(x^2+\tfrac{b}{a}x+\tfrac{c}{a}\right)
= a\!\left(\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\tfrac{b}{2a}\right)^2+\tfrac{c}{a}\right)\\
&= a\!\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.
\end{aligned}
\]
On reconnaît \(a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=-\tfrac{b}{2a}\) et \(\beta=-\tfrac{\Delta}{4a}\). ∎
Méthode — par complétion du carré
Mettre \(f(x)=2x^2-20x+10\) sous forme canonique.
\[
\begin{aligned}
f(x) &= 2(x^2-10x)+10 = 2(x^2-10x+25-25)+10\\
&= 2\big((x-5)^2-25\big)+10 = 2(x-5)^2-40.
\end{aligned}
\]
On a complété le carré car \(x^2-10x\) est le début de \((x-5)^2\). Ici \(\alpha=5,\ \beta=-40\).
3. Variations et représentation graphique
Propriété — courbe, sommet, axe de symétrie
La courbe d'un trinôme est une parabole.
Son sommet a pour coordonnées \(S(\alpha\,;\,\beta)\), avec \(\alpha=-\tfrac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)\).
Son axe de symétrie est la droite verticale \(x=\alpha\).
Si \(a>0\) : branches vers le haut. Minimum \(\beta\) en \(x=\alpha\).
Si \(a<0\) : branches vers le bas. Maximum \(\beta\) en \(x=\alpha\).
\(x\)
\(-\infty\)
\(\alpha\)
\(+\infty\)
\(f\) si \(a>0\)
↘
\(\beta\)
↗
\(f\) si \(a<0\)
↗
\(\beta\)
↘
Méthode — caractéristiques d'une parabole
Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de \(y=2x^2-12x+1\).
Ici \(a=2,\ b=-12,\ c=1\). L'axe de symétrie : \(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-12}{4}=3.\)
Sommet : \(\big(3\,;\,f(3)\big)\) avec \(f(3)=2(3)^2-12(3)+1=-17\), donc \(S(3\,;-17)\).
Comme \(a=2>0\), c'est un minimum.
4. Équation du second degré
4.1 Discriminant et racines
Définition
Résoudre \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)), c'est trouver les réels qui l'annulent : les
racines du trinôme. Le nombre \(\;\Delta=b^2-4ac\;\) est le
discriminant.
Propriété — les trois cas
Si \(\Delta<0\) : aucune racine réelle.
Si \(\Delta=0\) : une racine double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).
Si \(\Delta>0\) : deux racines distinctes
\(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Remarque : la forme canonique explique tout. Résoudre
\(ax^2+bx+c=0\) revient à \(\left(x+\tfrac{b}{2a}\right)^2=\tfrac{\Delta}{4a^2}\). Si
\(\Delta<0\), un carré ne peut égaler un nombre négatif : pas de solution.
Méthode — résoudre une équation
a) \(2x^2-x-6=0\) : \(a=2,b=-1,c=-6\), \(\Delta=1+48=49>0\).
\(x_1=\dfrac{1-7}{4}=-\dfrac32,\quad x_2=\dfrac{1+7}{4}=2.\quad S=\{-\tfrac32\,;2\}.\)
b) \(x^2-3x+4=0\) : \(\Delta=9-16=-7<0\), donc \(S=\varnothing\).
c) \(2x^2-12x+18=0\) : \(\Delta=144-144=0\), racine double
\(x_0=\dfrac{12}{4}=3\), \(S=\{3\}.\)
Astuce : il n'est pas toujours utile de calculer \(\Delta\)
(ex. \(4x^2-9=0\), \(5x^2-4x=0\)). Si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, alors
\(-4ac>0\) donc \(\Delta>0\) : il y a forcément deux racines.
4.2 Somme et produit des racines
Propriété — relations racines / coefficients
Lorsqu'il y a deux racines \(x_1,x_2\) (\(\Delta\geq 0\)) :
\[ S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\qquad\text{et}\qquad P=x_1\times x_2=\frac{c}{a}. \]
Réciproquement, deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont solutions de \(x^2-Sx+P=0\).
Exemple — racine évidente
\(x_1=1\) est racine évidente de \(2x^2-5x+3=0\) (car \(2-5+3=0\)). Comme
\(P=x_1x_2=\tfrac{c}{a}=\tfrac32\), on a \(x_2=\tfrac32\).
5. Factorisation d'un trinôme
Propriété — factorisation selon \(\Delta\)
Si \(\Delta>0\) : \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Si \(\Delta=0\) : \(f(x)=a(x-x_0)^2\).
Si \(\Delta<0\) : le trinôme ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\).
Un trinôme \(ax^2+bx+c\) est du signe de \(a\) partout, sauf entre ses racines
(quand elles existent).
\(\Delta<0\)
\(x\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(f(x)\)
signe de \(a\)
\(\Delta=0\)
\(x\)
\(-\infty\)
\(x_0\)
\(+\infty\)
\(f(x)\)
signe de \(a\)
\(0\)
signe de \(a\)
\(\Delta>0\)
\(x\)
\(-\infty\)
\(x_1\)
\(x_2\)
\(+\infty\)
\(f(x)\)
signe de \(a\)
\(0\)
signe opposé
\(0\)
signe de \(a\)
Méthode — inéquation du second degré
Résoudre \(x^2+3x-5 < -x+2\).
Tout à gauche : \(x^2+4x-7<0\).
Signe de \(x^2+4x-7\) : \(\Delta=16+28=44>0\), racines \(x_{1,2}=-2\mp\sqrt{11}\).
Comme \(a=1>0\), le trinôme est négatif entre les racines :
\[ S=\left]\,-2-\sqrt{11}\;;\;-2+\sqrt{11}\,\right[. \]
7. Application : position relative de deux courbes
Méthode — comparer deux courbes
Soit \(f(x)=-x^2+8x-11\) et \(g(x)=x-1\). Étudier la position de \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
On étudie le signe de la différence :
\[ f(x)-g(x)=-x^2+7x-10. \]
\(\Delta=49-40=9>0\), racines \(x_1=2\), \(x_2=5\). Comme \(a=-1<0\), la différence est
positive entre les racines.
\(x\)
\(-\infty\)
\(2\)
\(5\)
\(+\infty\)
\(f-g\)
\(-\)
\(0\)
\(+\)
\(0\)
\(-\)
Conclusion : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur
\(]2\,;5[\), en dessous sur \(]-\infty\,;2[\cup]5\,;+\infty[\), et elles se croisent en \(x=2\) et \(x=5\).
8. Stratégie et prolongements
Méthode — réflexe de résolution
Face à une équation du second degré, essayer dans l'ordre :
une racine évidente (\(\pm1,\pm2,\dots\)) ou une factorisation directe ;
une identité remarquable + équation produit nul ;
sinon, le discriminant \(\Delta\).
Pour une inéquation, se ramener toujours à un tableau de signe.
Exercice 1. Mettre sous forme canonique, puis donner le sommet et le
sens de variation de \(f(x)=-x^2+4x\) et \(g(x)=3x^2+6x-1\).
Exercice 2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
a) \(x^2-5x+6=0\) ; b) \(3x^2+2x+1=0\) ;
c) \(4x^2-12x+9=0\).
Exercice 3. Factoriser \(2x^2+3x-2\), puis résoudre \(2x^2+3x-2\geq 0\).
Exercice 4. On dispose de 40 m de grillage pour un enclos
rectangulaire. Quelle largeur maximise l'aire ? (Poser la largeur \(x\), exprimer
l'aire, mettre sous forme canonique.)