1Généralités sur les suites
1.1 — Définition et notations
Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou sur $\mathbb{N}$ à partir d'un certain rang) à valeurs dans $\mathbb{R}$. À tout entier naturel $n$, elle associe un unique réel noté $u_n$.
La suite se note $(u_n)$. Le réel $u_n$ est le terme général, ou terme de rang $n$ (ou d'indice $n$). Le terme $u_0$ est le terme initial.
Une suite peut n'être définie qu'à partir d'un certain rang $n_0$. Par exemple $u_n=\dfrac{1}{n-4}$ n'est définie que pour $n\geqslant 5$ ; on la note alors $(u_n)_{n\geqslant 5}$.
1.2 — Suite définie par une formule explicite
Le terme $u_n$ s'exprime directement en fonction de $n$ : $u_n=f(n)$. Chaque terme se calcule seul, sans connaître les précédents.
Soit $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=2n^2-3$.
$u_0=2\times0^2-3=-3\qquad u_1=2\times1^2-3=-1\qquad u_4=2\times4^2-3=29$
Le terme d'indice $2n$ vaut $u_{2n}=2(2n)^2-3=8n^2-3$.
1.3 — Suite définie par récurrence
On donne le terme initial et une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ qui exprime chaque terme à partir du précédent. On calcule alors les termes de proche en proche.
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$.
$u_1=0{,}5\times2+3=4$
$u_2=0{,}5\times4+3=5$
$u_3=0{,}5\times5+3=5{,}5$
Pour connaître $u_{10}$, il faut d'abord calculer tous les termes qui le précèdent.
La même fonction $f(x)=4x$ donne deux suites bien différentes selon le mode :
• Explicite $u_n=f(n)=4n$ : $u_0=0,\ u_1=4,\ u_2=8,\dots$
• Récurrence avec $u_0=1$ : $u_1=f(u_0)=4,\ u_2=f(u_1)=16,\dots$
De plus, une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ ne définit une suite que si $f(u_n)$ reste dans le domaine où $f$ est définie.
1.4 — Représentation graphique
Dans un repère, on représente une suite par le nuage de points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$. Les points ne sont pas reliés : $n$ ne prend que des valeurs entières.
2Sens de variation d'une suite
Soit $(u_n)$ une suite. On dit que :
• $(u_n)$ est croissante lorsque, pour tout $n$, $\ u_{n+1}\geqslant u_n$ ;
• $(u_n)$ est décroissante lorsque, pour tout $n$, $\ u_{n+1}\leqslant u_n$ ;
• $(u_n)$ est monotone lorsqu'elle est croissante ou décroissante ;
• $(u_n)$ est constante lorsque, pour tout $n$, $\ u_{n+1}= u_n$.
On définit de même les variations strictes (avec $>$ ou $<$).
Méthode 1 — Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
Soit $(u_n)$ définie par $u_n=n^2-6n+2$. Étudions ses variations.
$u_{n+1}-u_n=\big[(n+1)^2-6(n+1)+2\big]-\big[n^2-6n+2\big]$
$=n^2+2n+1-6n-6+2-n^2+6n-2=2n-5$
$2n-5\geqslant 0 \iff n\geqslant 2{,}5$. Donc pour $n\geqslant 3$, on a $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$ : la suite est croissante à partir du rang 3.
Méthode 2 — Comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1
Utilisable uniquement lorsque tous les termes sont strictement positifs.
Soit $(u_n)$ définie pour $n\geqslant 1$ par $u_n=\dfrac{n}{3^{n}}$ (termes strictement positifs).
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\dfrac{n+1}{3^{n+1}}}{\dfrac{n}{3^{n}}}=\dfrac{n+1}{3^{n+1}}\times\dfrac{3^{n}}{n}=\dfrac{n+1}{3n}$
Pour $n\geqslant 1$, $\ n+1\leqslant 3n$ donc $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leqslant 1$, et comme $u_n>0$ on obtient $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite est décroissante.
Méthode 3 — Utiliser la fonction associée
Si $u_n=f(n)$ avec $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$ :
• si $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, alors $(u_n)$ est croissante ;
• si $f$ est décroissante sur $[0\,;+\infty[$, alors $(u_n)$ est décroissante.
Soit $u_n=\dfrac{1}{n+2}$, associée à $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ sur $[0\,;+\infty[$.
$f'(x)=\dfrac{-1}{(x+2)^2}<0$, donc $f$ est décroissante, et par conséquent $(u_n)$ est décroissante.
Une suite $(u_n)=f(n)$ peut être monotone alors que la fonction $f$ ne l'est pas : seuls comptent les points d'abscisses entières. Ne jamais conclure sur la suite à partir d'une fonction non associée à $u_n$.
3Suites arithmétiques
3.1 — Définition
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n$ : $$u_{n+1}=u_n+r$$ Le réel $r$ est la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $r$.
Suite arithmétique de premier terme $u_0=4$ et de raison $r=3$ :
$u_0=4,\quad u_1=7,\quad u_2=10,\quad u_3=13,\ \dots$
3.2 — Reconnaître une suite arithmétique
On calcule $u_{n+1}-u_n$ : la suite est arithmétique si le résultat est constant.
a) $u_n=6-4n$ : $u_{n+1}-u_n=\big[6-4(n+1)\big]-\big[6-4n\big]=-4$.
Constant : $(u_n)$ est arithmétique de raison $-4$.
b) $v_n=n^2+n$ : $v_{n+1}-v_n=(n+1)^2+(n+1)-n^2-n=2n+2$.
Dépend de $n$ : $(v_n)$ n'est pas arithmétique.
3.3 — Terme général
Pour une suite arithmétique de raison $r$ :
$$u_n=u_0+n\,r \qquad\text{et plus généralement}\qquad u_n=u_p+(n-p)\,r$$
Soit $(u_n)$ arithmétique avec $u_3=17$ et $u_8=42$.
Raison : $u_8=u_3+(8-3)r \iff 42=17+5r \iff r=5$.
Premier terme : $u_3=u_0+3r \iff 17=u_0+15 \iff u_0=2$.
Terme général : $u_n=2+5n$.
3.4 — Variations
Comme $u_{n+1}-u_n=r$, le sens de variation ne dépend que du signe de $r$ :
• si $r>0$ : $(u_n)$ est strictement croissante ;
• si $r<0$ : $(u_n)$ est strictement décroissante ;
• si $r=0$ : $(u_n)$ est constante.
Remarque : les points d'une suite arithmétique sont toujours alignés.
3.5 — Somme de termes consécutifs
Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ : $$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
Plus généralement, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut : $$S=(\text{nombre de termes})\times\frac{\text{1}^{\text{er}}\text{ terme}+\text{dernier terme}}{2}$$
Calculer $\ S=5+8+11+\cdots+95$ (suite arithmétique de raison 3).
Nombre de termes : $\dfrac{95-5}{3}+1=31$.
Somme : $S=31\times\dfrac{5+95}{2}=31\times50=1550$.
- Définition : $u_{n+1}=u_n+r$ (on ajoute la raison $r$).
- Terme général : $u_n=u_0+n\,r$ ou $u_n=u_p+(n-p)r$.
- Variations : signe de $r$ ($r>0$ croissante, $r<0$ décroissante).
- Somme : $S=(\text{nb termes})\times\dfrac{\text{extrêmes}}{2}$.
4Suites géométriques
4.1 — Définition
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (non nul) tel que, pour tout $n$ : $$u_{n+1}=q\times u_n$$ Le réel $q$ est la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $q$.
Suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $q=3$ :
$u_0=2,\quad u_1=6,\quad u_2=18,\quad u_3=54,\ \dots$
4.2 — Reconnaître une suite géométrique
On calcule le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : la suite est géométrique s'il est constant.
Soit $u_n=4\times 3^{\,n}$ :
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{4\times 3^{\,n+1}}{4\times 3^{\,n}}=3^{\,n+1-n}=3$
Constant : $(u_n)$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $u_0=4\times 3^0=4$.
4.3 — Terme général
Pour une suite géométrique de raison $q$ :
$$u_n=u_0\times q^{\,n} \qquad\text{et plus généralement}\qquad u_n=u_p\times q^{\,n-p}$$
Soit $(u_n)$ géométrique avec $u_2=18$ et $u_5=486$.
Raison : $u_5=u_2\times q^{5-2} \iff 486=18\,q^3 \iff q^3=27 \iff q=3$.
Premier terme : $u_2=u_0\times q^2 \iff 18=u_0\times 9 \iff u_0=2$.
Terme général : $u_n=2\times 3^{\,n}$.
4.4 — Variations
Le sens de variation dépend du signe de $u_0$ et de la valeur de $q$ (pour $q>0$).
| Signe de $u_0$ | $q>1$ | $0<q<1$ |
|---|---|---|
| $u_0>0$ | croissante | décroissante |
| $u_0<0$ | décroissante | croissante |
Si $q<0$, la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante : ses termes sont alternativement positifs et négatifs.
4.5 — Somme de termes consécutifs
Pour $q\neq 1$ : $$1+q+q^2+\cdots+q^{\,n}=\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}$$
Plus généralement : $$S=\text{1}^{\text{er}}\text{ terme}\times\frac{1-q^{\,\text{nombre de termes}}}{1-q}$$
Calculer $\ S=1+4+16+64+\cdots+4^{6}$ (raison $q=4$, 7 termes).
$S=\dfrac{1-4^{\,7}}{1-4}=\dfrac{1-16384}{-3}=\dfrac{-16383}{-3}=5461$.
- Définition : $u_{n+1}=q\times u_n$ (on multiplie par la raison $q$).
- Terme général : $u_n=u_0\times q^{\,n}$ ou $u_n=u_p\times q^{\,n-p}$.
- Variations : dépendent du signe de $u_0$ et de $q$ ; si $q<0$, pas monotone.
- Somme : $S=\text{1}^{\text{er}}\text{ terme}\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}$.
5Suites arithmético-géométriques
Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique lorsqu'elle vérifie une relation de la forme $$u_{n+1}=a\,u_n+b \qquad\text{avec}\quad a\neq 1 \ \text{ et }\ b\neq 0.$$
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n-4$. On veut exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
1. Point fixe. On résout $\ell=3\ell-4$, soit $\ell=2$.
2. Suite auxiliaire. On pose $v_n=u_n-2$. Alors
$v_{n+1}=u_{n+1}-2=3u_n-4-2=3(u_n-2)=3v_n$.
$(v_n)$ est géométrique de raison $3$, de premier terme $v_0=u_0-2=-1$.
3. Expression de $v_n$. $v_n=v_0\times 3^{\,n}=-3^{\,n}$.
4. Retour à $u_n$. Comme $u_n=v_n+2$, on obtient $\ u_n=2-3^{\,n}$.
6Limite d'une suite
En première, on aborde la notion de limite de manière intuitive, à partir d'exemples.
6.1 — Suite convergente
La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ lorsque les termes $u_n$ finissent par s'accumuler autour de $\ell$, aussi près qu'on le veut, dès que $n$ est assez grand. On note : $$\lim_{n\to+\infty} u_n=\ell.$$
Cette limite, lorsqu'elle existe, est unique.
Soit $u_n=3+\dfrac{1}{n}$ pour $n\geqslant 1$. Quand $n$ grandit, $\dfrac{1}{n}$ tend vers $0$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3$.
6.2 — Suite divergente
$(u_n)$ diverge vers $+\infty$ lorsque $u_n$ devient aussi grand qu'on veut dès que $n$ est assez grand : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ (définition analogue pour $-\infty$).
• $u_n=n^2-5$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ (divergence).
• $u_n=(-1)^n$ prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$ : elle n'a pas de limite (elle diverge, sans limite).
6.3 — Limite d'une suite géométrique $(q^{\,n})$
Soit $q$ un réel.
• si $-1<q<1$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^{\,n}=0$ ;
• si $q=1$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^{\,n}=1$ ;
• si $q>1$ : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}q^{\,n}=+\infty$ ;
• si $q\leqslant -1$ : $q^{\,n}$ n'a pas de limite.
• $u_n=5\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$ : comme $-1<\dfrac{1}{3}<1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0$.
• $u_n=0{,}5\times 4^{\,n}$ : comme $4>1$, $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
- Convergence : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$ (accumulation autour de $\ell$, limite unique).
- Divergence : vers $\pm\infty$, ou pas de limite (ex. $(-1)^n$).
- Suite géométrique : $q^{\,n}\to 0$ si $-1<q<1$ ; $\to+\infty$ si $q>1$.