1Nombre dérivé et tangente
1.1 — Taux d'accroissement
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$. Pour $h\neq 0$, le taux d'accroissement (ou taux de variation) de $f$ entre $a$ et $a+h$ est : $$t(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ joignant les points $A\big(a\,;f(a)\big)$ et $M\big(a+h\,;f(a+h)\big)$.
1.2 — Nombre dérivé
$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$. Cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$ : $$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
Quand $M$ se rapproche de $A$ (c'est-à-dire $h\to 0$), la sécante $(AM)$ tend vers la tangente à la courbe en $A$ : $f'(a)$ en est le coefficient directeur.
Soit $f(x)=x^2-4x+1$. Montrons que $f$ est dérivable en $a=3$.
$\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{\big[(3+h)^2-4(3+h)+1\big]-\big[9-12+1\big]}{h}$
$=\dfrac{9+6h+h^2-12-4h+1-(-2)}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=\dfrac{h(2+h)}{h}=2+h$
Or $\displaystyle\lim_{h\to 0}(2+h)=2$. Donc $f$ est dérivable en $3$ et $f'(3)=2$.
1.3 — Équation de la tangente
Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $A\big(a\,;f(a)\big)$ une tangente $(T_a)$ d'équation : $$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$
Soit $f(x)=x^3-3x^2+3x+1$. Cherchons la tangente au point d'abscisse $a=2$.
$f'(x)=3x^2-6x+3$, donc $f'(2)=12-12+3=3$.
$f(2)=8-12+6+1=3$.
$y=3(x-2)+3 \iff \boxed{y=3x-3}$.
• Si $f'(a)=0$ : la tangente est horizontale, d'équation $y=f(a)$.
• Si le taux d'accroissement tend vers $\pm\infty$ : $f$ n'est pas dérivable en $a$, mais $\mathcal{C}_f$ admet une tangente verticale d'équation $x=a$ (par exemple $\sqrt{x}$ en $0$).
2Fonction dérivée et dérivées usuelles
Si $f$ admet un nombre dérivé en tout point d'un intervalle $I$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. La fonction qui à tout $x\in I$ associe $f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$, notée $f'$.
2.1 — Deux démonstrations au programme
$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h \ \xrightarrow[h\to 0]{}\ 2x$.
Donc $f'(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$.
$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\dfrac{-h}{h\,x(x+h)}=\dfrac{-1}{x(x+h)} \ \xrightarrow[h\to 0]{}\ -\dfrac{1}{x^2}$.
Donc $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^\ast$.
2.2 — Tableau des dérivées usuelles
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n\ (n\in\mathbb{N}^\ast)$ | $n\,x^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^\ast$ |
| $\dfrac{1}{x^n}\ (n\in\mathbb{N}^\ast)$ | $-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ | $\mathbb{R}^\ast$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0\,;+\infty[$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
En $0$, le taux $\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}\to +\infty$ : $\sqrt{x}$ est définie mais non dérivable en $0$ (tangente verticale).
3Opérations sur les fonctions dérivées
Soit $u$ et $v$ dérivables sur $I$ et $\lambda$ un réel.
| Opération | Dérivée |
|---|---|
| Somme $(u+v)'$ | $u'+v'$ |
| Produit par un réel $(\lambda u)'$ | $\lambda u'$ |
| Produit $(uv)'$ | $u'v+uv'$ |
| Inverse $\left(\dfrac{1}{v}\right)'$ ($v\neq 0$) | $-\dfrac{v'}{v^2}$ |
| Quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'$ ($v\neq 0$) | $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ |
| Puissance $(u^n)'$ | $n\,u'\,u^{n-1}$ |
| Racine $\big(\sqrt{u}\big)'$ ($u>0$) | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $\big(g(ax+b)\big)'$ | $a\,g'(ax+b)$ |
La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $(uv)'\neq u'v'$.
Exemples d'application
$f(x)=4x^3-2x^2+7x-9$.
$f'(x)=12x^2-4x+7$.
$f(x)=(2x+5)(x^2-1)$, avec $u=2x+5,\ v=x^2-1$.
$f'(x)=u'v+uv'=2(x^2-1)+(2x+5)(2x)$
$=2x^2-2+4x^2+10x=6x^2+10x-2$.
$f(x)=\dfrac{3x-1}{x^2+2}$, avec $u=3x-1,\ v=x^2+2$.
$f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{3(x^2+2)-(3x-1)(2x)}{(x^2+2)^2}$
$=\dfrac{3x^2+6-6x^2+2x}{(x^2+2)^2}=\dfrac{-3x^2+2x+6}{(x^2+2)^2}$.
$g(x)=(4x-7)^3$ : $g'(x)=3\times 4\,(4x-7)^2=12(4x-7)^2$.
$k(x)=\sqrt{x^2+5}$ : $k'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}$.
- $(u+v)'=u'+v'$ ; $(\lambda u)'=\lambda u'$.
- $(uv)'=u'v+uv'$ (pas le produit des dérivées !).
- $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ : ordre du numérateur à respecter.
- $\big(g(ax+b)\big)'=a\,g'(ax+b)$ : ne pas oublier le facteur $a$.
4Applications géométriques et physiques
4.1 — Approximation affine
Lorsque $h$ est proche de $0$, on peut confondre la courbe et sa tangente en $a$ : $$f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)$$
Approchons $\sqrt{9{,}06}$. On pose $f(x)=\sqrt{x}$, $a=9$, $h=0{,}06$.
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $f'(9)=\dfrac{1}{6}$.
$\sqrt{9{,}06}\approx \sqrt{9}+0{,}06\times\dfrac{1}{6}=3+0{,}01=3{,}01$.
(Valeur exacte $\approx 3{,}00998$ : précision de l'ordre de $10^{-5}$.)
4.2 — Interprétation cinématique
Si $x(t)$ est la position d'un mobile à l'instant $t$, alors la vitesse est $v(t)=x'(t)$ et l'accélération est $a(t)=v'(t)$.
Un mobile a pour loi horaire $x(t)=3t^2-12t+5$ (en mètres, $t$ en secondes).
Vitesse : $v(t)=x'(t)=6t-12$.
Vitesse initiale : $v(0)=-12$ m/s (le mobile recule d'abord).
Arrêt : $v(t)=0\iff t=2$ s : le mobile rebrousse chemin à $t=2$ s.
Accélération : $a(t)=v'(t)=6$ m/s² (mouvement uniformément accéléré).
5Dérivée et sens de variation
Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$.
• si $f'>0$ sur $I$ (sauf en des points isolés) : $f$ est strictement croissante sur $I$ ;
• si $f'<0$ sur $I$ (sauf en des points isolés) : $f$ est strictement décroissante sur $I$ ;
• si $f'=0$ sur $I$ : $f$ est constante sur $I$.
Soit $f(x)=-x^3+6x^2-1$ sur $\mathbb{R}$.
Dérivée : $f'(x)=-3x^2+12x=-3x(x-4)$.
Zéros : $f'(x)=0\iff x=0$ ou $x=4$.
Signe : trinôme de coefficient dominant $-3<0$, donc $f'(x)>0$ entre les racines.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $4$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0\ +$ | $0\ -$ | |
| $f(x)$ | $+\infty\searrow$ | $\ -1\nearrow$ | $31\searrow$ | $-\infty$ |
$f$ décroît sur $]-\infty\,;0]$, croît sur $[0\,;4]$, puis décroît sur $[4\,;+\infty[$.
6Extremums et optimisation
Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$.
• Si $f$ admet un extremum local en $c\in I$, alors $f'(c)=0$.
• Réciproquement, si $f'(c)=0$ et $f'$ change de signe en $c$, alors $f$ admet un extremum local en $c$.
$f'(c)=0$ ne suffit pas : il faut un changement de signe. Par exemple $f(x)=x^3$ vérifie $f'(0)=0$, mais $f'(x)=3x^2\geqslant 0$ ne change pas de signe : $0$ n'est pas un extremum.
On dispose d'une plaque et on découpe un enclos rectangulaire dont le périmètre est fixé à $40$ m. Quelle est l'aire maximale ?
1. Modélisation. Largeur $x$, longueur $20-x$ (car $2x+2\ell=40$). Aire : $A(x)=x(20-x)=20x-x^2$, avec $x\in\,]0\,;20[$.
2. Dérivée. $A'(x)=20-2x$.
3. Signe. $A'(x)=0\iff x=10$ ; $A'>0$ sur $]0\,;10[$ et $A'<0$ sur $]10\,;20[$.
4. Conclusion. $A$ admet un maximum en $x=10$ : l'enclos est un carré de côté $10$ m, d'aire $A(10)=100$ m².
- Le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$.
- Les extremums sont à chercher parmi les zéros de $f'$ où $f'$ change de signe.
- Optimiser = modéliser la grandeur, dériver, dresser le tableau de signe, conclure.
- Tangente en $a$ : $\ y=f'(a)(x-a)+f(a)$.