La trigonométrie – Fiche de cours Première

Partie 1 · Cercle trigonométrique et radian

1) Orientation du plan

Définition Orienter un cercle, c'est choisir un sens de parcours. Le sens direct (ou positif, ou trigonométrique) est le sens contraire des aiguilles d'une montre ; l'autre sens est dit indirect (ou négatif).

Définition Dans le plan muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath}\,)\) orienté dans le sens direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).

Le cercle trigonométrique et son sens direct.

2) Le radian

Définition Le radian est la mesure de l'angle au centre qui intercepte, sur un cercle de rayon \(R\), un arc de longueur \(R\).

Propriété Le cercle trigonométrique a pour longueur \(2\pi\) (car \(P = 2\pi R = 2\pi\times 1\)). Un tour complet mesure donc \(360^\circ\), c'est-à-dire \(2\pi\) radians, et \(180^\circ = \pi\ \text{rad}\).

Les mesures en degré et en radian sont proportionnelles : on passe de l'une à l'autre par un tableau de proportionnalité.

Degré	0°	30°	45°	60°	90°	180°	360°
Radian	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(2\pi\)

Méthode — passer des degrés aux radians et réciproquement

1) Donner la mesure en radians d'un angle de \(42^\circ\).
2) Donner la mesure en degrés de l'angle de \(\dfrac{5\pi}{12}\) radians.

Correction

On utilise la proportionnalité entre \(360^\circ\) et \(2\pi\) rad.

\(1)\quad 42 \times \dfrac{2\pi}{360} = \dfrac{42\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{30}\ \text{rad} \qquad\qquad 2)\quad \dfrac{5\pi}{12} \times \dfrac{360}{2\pi} = \dfrac{5 \times 180}{12} = 75^\circ\)

Réflexe : degrés \(\to\) radians, on multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\) ; radians \(\to\) degrés, on multiplie par \(\dfrac{180}{\pi}\).

Attention Un résultat en radians se laisse sous forme exacte, avec \(\pi\) (\(\tfrac{7\pi}{30}\) et non \(0{,}73\)). Et sur la calculatrice, il faut choisir le bon mode : RAD pour la trigonométrie de Première.

Partie 2 · Enroulement et mesure d'un angle orienté

1) Enroulement de la droite numérique

On considère le cercle trigonométrique et la droite \(d\) tangente au cercle en \(I(1\,;0)\), munie du repère \((I\,;\vec{\jmath}\,)\). En « enroulant » \(d\) autour du cercle, à tout réel \(x\) de la droite on associe un unique point \(M\) du cercle : la longueur de l'arc \(\overset{\frown}{IM}\) est égale à \(|x|\), parcourue dans le sens direct si \(x>0\), indirect si \(x<0\).

Enroulement de la droite des réels autour du cercle.

Propriété À un réel \(x\) correspond un seul point \(M\), mais à un point \(M\) correspond une infinité de réels : tous les réels de la forme \(x + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
On note alors \(x' = x\ [2\pi]\) (« \(x'\) est égal à \(x\) modulo \(2\pi\) »).

Exemple \(-\dfrac{7\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]\), car \(-\dfrac{7\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{-7\pi + 8\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}\).

2) Placer un point sur le cercle

Méthode — placer un point à partir de son réel

Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux réels : a) \(\dfrac{5\pi}{6}\) b) \(\dfrac{11\pi}{4}\) c) \(\dfrac{7\pi}{3}\) d) \(-\dfrac{7\pi}{2}\)

Correction

a) \(\dfrac{5\pi}{6}\) appartient déjà à \([0\,;2\pi]\) : on compte « \(5 \times \dfrac{\pi}{6}\) » dans le sens direct, le point est dans le 2^e quadrant.

b) \(\dfrac{11\pi}{4} = \dfrac{8\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} = 2\pi + \dfrac{3\pi}{4}\) : un tour complet dans le sens direct, puis \(\dfrac{3\pi}{4}\). Le point est celui associé à \(\dfrac{3\pi}{4}\).

c) \(\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = 2\pi + \dfrac{\pi}{3}\) : même point que celui associé à \(\dfrac{\pi}{3}\).

d) \(-\dfrac{7\pi}{2} = -\dfrac{8\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} = -4\pi + \dfrac{\pi}{2}\) : deux tours complets dans le sens indirect, puis \(\dfrac{\pi}{2}\). Le point est celui associé à \(\dfrac{\pi}{2}\), c'est-à-dire \(J(0\,;1)\).

Réflexe : on retire (ou on ajoute) des multiples de \(2\pi\) jusqu'à tomber dans un intervalle de longueur \(2\pi\).

3) Mesure principale

Définition La mesure principale d'un angle orienté est celle qui, parmi toutes ses mesures, appartient à l'intervalle \(]-\pi\,;\,\pi]\).

Méthode — déterminer une mesure principale

Donner la mesure principale de l'angle de mesure \(\dfrac{31\pi}{6}\).

Correction

On cherche le multiple de \(2\pi\) le plus proche. Ici \(6\pi = \dfrac{36\pi}{6}\) :

\(\dfrac{31\pi}{6} = \dfrac{36\pi}{6} - \dfrac{5\pi}{6} = 6\pi - \dfrac{5\pi}{6}\)

\(6\pi\) correspond à \(3\) tours entiers, et \(-\dfrac{5\pi}{6}\) appartient bien à \(]-\pi\,;\,\pi]\).

La mesure principale de \(\dfrac{31\pi}{6}\) est donc \(-\dfrac{5\pi}{6}\).

4) Angles remarquables du cercle

Les mesures remarquables sur \([0\,;2\pi]\), et leur écriture dans \(]-\pi\,;\pi]\).

Partie 3 · Cosinus et sinus d'un nombre réel

1) Définitions

Définitions Soit \(M\) le point du cercle trigonométrique associé au réel \(x\).

Le cosinus de \(x\) est l'abscisse de \(M\) : on note \(\cos(x)\).
Le sinus de \(x\) est l'ordonnée de \(M\) : on note \(\sin(x)\).

Ainsi \(M\big(\cos(x)\,;\,\sin(x)\big)\).

Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses, le sinus sur l'axe des ordonnées.

Lien avec le collège Pour \(x \in \left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\), le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\) et \(OM = 1\), donc \(\cos(x) = \dfrac{OH}{OM} = OH\) et \(\sin(x) = \dfrac{HM}{OM} = HM\) : on retrouve « adjacent sur hypoténuse » et « opposé sur hypoténuse ».

2) Propriétés

Propriétés Pour tout réel \(x\) et tout entier relatif \(k\) :

\(-1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1\) et \(-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1\)
\(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)
\(\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)\) et \(\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)\)

Notation : \(\cos^2(x)\) désigne \(\big(\cos(x)\big)^2\).

Démonstration

• Le point \(M\) appartient au cercle de rayon \(1\) : son abscisse et son ordonnée sont comprises entre \(-1\) et \(1\).

• Dans le triangle \(OHM\) rectangle en \(H\), le théorème de Pythagore donne \(OH^2 + HM^2 = OM^2\), c'est-à-dire \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1^2 = 1\).

• Les réels \(x\) et \(x + 2k\pi\) sont associés au même point du cercle, donc à la même abscisse et à la même ordonnée.

Méthode — utiliser \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)

Soit \(x \in \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\) tel que \(\sin(x) = \dfrac{3}{5}\). Déterminer \(\cos(x)\).

Correction

\(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\), donc \(\cos(x) = \dfrac{4}{5}\) ou \(\cos(x) = -\dfrac{4}{5}\).

Or \(x \in \left]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[\) : le point \(M\) est dans le 2^e quadrant, où l'abscisse est négative. Donc \(\cos(x) = -\dfrac{4}{5}\).

Réflexe : l'identité donne le carré, c'est le quadrant qui donne le signe.

3) Valeurs remarquables

\(x\) (degré)	0°	30°	45°	60°	90°	180°
\(x\) (radian)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)
\(\cos(x)\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)
\(\sin(x)\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(0\)

Mémo Sur la ligne des sinus, lisez \(\dfrac{\sqrt{0}}{2},\ \dfrac{\sqrt{1}}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{\sqrt{4}}{2}\) pour \(0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}\) : la ligne des cosinus est la même, lue à l'envers.

Démonstration au programme — \(\cos\frac{\pi}{3}\) et \(\sin\frac{\pi}{3}\)

\(\dfrac{\pi}{3}\) rad \(= 60^\circ\). Le triangle \(OMA\) est isocèle en \(O\) (car \(OA = OM = 1\)), donc ses angles à la base valent \((180 - 60) : 2 = 60^\circ\) : il est équilatéral.

La hauteur issue de \(M\) est alors aussi médiane, donc \(H\) est le milieu de \([OA]\) : \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = OH = \dfrac{1}{2}\).

Puis \(\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}\), et comme \(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) > 0\) : \(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Démonstration au programme — \(\sin\frac{\pi}{4}\)

\(\dfrac{\pi}{4}\) rad \(= 45^\circ\). Le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\) et son troisième angle vaut \(180 - 90 - 45 = 45^\circ\) : il est isocèle, donc \(OH = HM\), c'est-à-dire \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\).

Avec \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) : \(2\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\), donc \(\sin^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}\) et, ce sinus étant positif, \(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Méthode — lire une valeur exacte sur le cercle

Déterminer la valeur exacte de : a) \(\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)\) b) \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\)

Correction

a) \(\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}\) : le point est le symétrique, par rapport à \(O\), du point associé à \(\dfrac{\pi}{6}\). Ses deux coordonnées changent de signe, donc \(\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

b) \(\dfrac{3\pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4}\) : le point est le symétrique, par rapport à l'axe des ordonnées, du point associé à \(\dfrac{\pi}{4}\). L'ordonnée est inchangée, donc \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Partie 4 · Formules de symétrie et de déphasage

1) Relations de symétrie

Propriétés

Angle opposé	Angle supplémentaire	Angle diamétralement opposé
\(\cos(-x) = \cos(x)\) \(\sin(-x) = -\sin(x)\)	\(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\) \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\)	\(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\) \(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\)

Les quatre points \(x\), \(-x\), \(\pi - x\), \(\pi + x\) forment un rectangle : seuls les signes changent.

2) Relations de déphasage

Propriétés

Angle complémentaire	Déphasage d'un quart de tour
\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\) \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\)	\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)\) \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x)\)

Méthode — simplifier une expression

Simplifier, pour tout réel \(x\) : \(B = \sin(\pi - x) + 2\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) - \sin(-x)\).

Correction

On applique les formules une à une :

\(B = \sin(x) + 2 \times \big(-\sin(x)\big) - \big(-\sin(x)\big) = \sin(x) - 2\sin(x) + \sin(x) = 0\)

L'expression \(B\) est donc nulle pour tout réel \(x\).

Réflexe : traduire chaque terme en \(\cos(x)\) ou \(\sin(x)\) avant de réduire.

Piège fréquent \(\cos(\pi - x) \neq \cos(\pi) - \cos(x)\). Les fonctions cosinus et sinus ne sont pas linéaires : on ne « distribue » jamais dans un cosinus ou un sinus.

Partie 5 · Équations trigonométriques

Propriétés Soit \(a\) un réel tel que \(|a| \leqslant 1\).

\(\cos(x) = \cos(\alpha) \iff x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = -\alpha + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(\sin(x) = \sin(\alpha) \iff x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Si \(|a| > 1\), l'équation \(\cos(x) = a\) (ou \(\sin(x) = a\)) n'a aucune solution.

Comment retenir Pour le cosinus, les solutions sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses (\(\alpha\) et \(-\alpha\)). Pour le sinus, elles sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (\(\alpha\) et \(\pi - \alpha\)).

Méthode — résoudre sur un intervalle

a) Résoudre \(\cos(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sur \([0\,;2\pi]\).
b) Résoudre \(\sin(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sur \([-\pi\,;\pi]\).

Correction

a) On reconnaît \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\), donc \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\). Dans \([0\,;2\pi]\) : \(\dfrac{\pi}{4}\) convient, et \(-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{4}\) convient aussi.

\(\mathcal{S} = \left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\,\dfrac{7\pi}{4}\right\}\)

b) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\), donc \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + 2k\pi = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi\). Dans \([-\pi\,;\pi]\) : \(-\dfrac{\pi}{3}\) convient, et \(\dfrac{4\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{2\pi}{3}\) convient aussi.

\(\mathcal{S} = \left\{-\dfrac{2\pi}{3}\,;\,-\dfrac{\pi}{3}\right\}\)

Réflexe : écrire d'abord toutes les solutions dans \(\mathbb{R}\) avec \(k\), puis faire varier \(k\) pour ne garder que celles de l'intervalle demandé.

Méthode — équation avec \(2x\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos(2x) = -\dfrac{1}{2}\).

Correction

\(-\dfrac{1}{2} = \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\), donc \(2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(2x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\).

On divise tout par \(2\), y compris le \(2k\pi\) :

\(x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad\text{ou}\quad x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}\)

Réflexe : l'erreur classique est d'oublier de diviser \(2k\pi\) par \(2\) : la période des solutions devient \(\pi\), pas \(2\pi\).

Partie 6 · Fonctions cosinus et sinus

1) Définitions

Définitions

La fonction cosinus est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui, à tout réel \(x\), associe \(\cos(x)\).
La fonction sinus est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) qui, à tout réel \(x\), associe \(\sin(x)\).

Toutes deux sont à valeurs dans \([-1\,;1]\).

2) Périodicité et parité

Propriétés Pour tout réel \(x\) et tout \(k \in \mathbb{Z}\) :

Périodicité : \(\cos(x + 2k\pi) = \cos(x)\) et \(\sin(x + 2k\pi) = \sin(x)\). Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période \(2\pi\).
Parité : \(\cos(-x) = \cos(x)\) : la fonction cosinus est paire. \(\sin(-x) = -\sin(x)\) : la fonction sinus est impaire.

Rappel — parité Une fonction \(f\) est paire si \(f(-x) = f(x)\) : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si \(f(-x) = -f(x)\) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Démonstration

Les réels \(x\) et \(x + 2k\pi\) sont associés au même point du cercle : ils ont donc même abscisse et même ordonnée, d'où la périodicité.

Les points associés à \(x\) et \(-x\) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées, d'où \(\cos(-x) = \cos(x)\) et \(\sin(-x) = -\sin(x)\).

Méthode — étudier la parité d'une fonction trigonométrique

Démontrer que la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \cos(x) + \cos(3x)\) est paire.

Correction

\(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à \(0\), donc \(f(-x)\) est bien défini pour tout \(x\).

\(f(-x) = \cos(-x) + \cos(-3x) = \cos(x) + \cos(3x) = f(x)\)

La fonction \(f\) est donc paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

3) Variations sur \([0\,;\pi]\)

Grâce à la parité et à la périodicité, il suffit d'étudier les deux fonctions sur \([0\,;\pi]\) : le reste de la courbe s'en déduit par symétrie, puis par translations de vecteurs \(2k\pi\,\vec{\imath}\).

\(x\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)
\(\cos(x)\)	\(1\)	\(0\) (décroissante)	\(-1\)
\(\sin(x)\)	\(0\) ↗	\(1\) (maximum)	\(0\) ↘

La fonction cosinus est décroissante sur \([0\,;\pi]\). La fonction sinus est croissante sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) puis décroissante sur \(\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]\).

4) Courbes représentatives

Courbe de la fonction cosinus : une sinusoïde, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, de période \(2\pi\).

Courbe de la fonction sinus : symétrique par rapport à l'origine, de période \(2\pi\).

Remarque Comme \(\cos(x) = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\), la courbe du cosinus se déduit de celle du sinus par une translation de vecteur \(-\dfrac{\pi}{2}\,\vec{\imath}\).

Méthode — compléter un graphique par parité et périodicité

Soit \(f\) une fonction paire et périodique de période \(\pi\), dont on connaît la courbe sur \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Compléter la courbe sur \(\left[-\pi\,;\pi\right]\).

Correction

1^re étape (parité). \(f\) est paire : on complète le morceau sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;0\right]\) par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. On dispose alors d'un morceau de longueur \(\pi\), c'est-à-dire d'une période entière.

2^e étape (périodicité). On reproduit ce morceau à gauche et à droite par translations de vecteurs \(k\pi\,\vec{\imath}\), jusqu'à couvrir \([-\pi\,;\pi]\).

Réflexe : toujours la parité d'abord (elle agrandit le morceau de base), la périodicité ensuite (elle le recopie).

Partie 7 · Fonctions sinusoïdales

En physique, de nombreux phénomènes (son, lumière, tension alternative) se modélisent par des fonctions du type \(t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)\) ou \(t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi)\), avec \(A > 0\) et \(\omega > 0\).

Définitions

\(A\) est l'amplitude : c'est la valeur maximale de la fonction.
\(\omega t + \varphi\) est la phase instantanée ; \(\varphi\) (valeur en \(t = 0\)) est la phase à l'origine, exprimée en radians.
\(\omega\) est la pulsation, en radians par seconde.
La période \(T\) est l'intervalle au bout duquel la courbe se reproduit à l'identique, en secondes.

Propriété Les fonctions \(t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)\) et \(t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi)\) ont pour amplitude \(A\) et pour période \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).

La courbe de \(t \mapsto 2\cos\left(\dfrac{t}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right)\) : amplitude \(2\), période \(6\pi\).

Méthode — déterminer graphiquement l'expression d'une sinusoïde

Une fonction \(f\) du type \(t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)\) a pour maximum \(2\) et pour période \(6\pi\). On lit de plus \(f(0) = 1\) et \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\). Déterminer l'expression de \(f\).

Correction

Amplitude : le maximum vaut \(2\), donc \(A = 2\).

Pulsation : \(T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 6\pi\), donc \(\omega = \dfrac{2\pi}{6\pi} = \dfrac{1}{3}\). Ainsi \(f(t) = 2\cos\left(\dfrac{1}{3}t + \varphi\right)\).

Phase : \(f(0) = 1\) donne \(2\cos(\varphi) = 1\), soit \(\cos(\varphi) = \dfrac{1}{2}\) : \(\varphi = \dfrac{\pi}{3}\) ou \(\varphi = -\dfrac{\pi}{3}\) conviennent a priori.

On départage avec la seconde lecture :

si \(\varphi = \dfrac{\pi}{3}\) : \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\) ✔
si \(\varphi = -\dfrac{\pi}{3}\) : \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{3}\right) = 2\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \neq 0\) ✘

On en déduit : \(f(t) = 2\cos\left(\dfrac{1}{3}t + \dfrac{\pi}{3}\right)\).

Réflexe : une seule lecture ne suffit jamais pour \(\varphi\) — il faut toujours tester les deux candidats sur un second point.

À retenir

\(180^\circ = \pi\) rad ; conversions par proportionnalité.
Un point du cercle est associé à une infinité de réels \(x + 2k\pi\) ; la mesure principale est celle de \(]-\pi\,;\pi]\).
\(\cos(x)\) = abscisse, \(\sin(x)\) = ordonnée du point \(M\) associé à \(x\) ; \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) et \(-1 \leqslant \cos(x),\ \sin(x) \leqslant 1\).
Valeurs remarquables de \(0\) à \(\dfrac{\pi}{2}\) : sinus \(0,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1\) ; cosinus, la même liste à l'envers.
Symétries : \(\cos(-x) = \cos(x)\), \(\sin(-x) = -\sin(x)\), \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\), \(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\)… tout se retrouve sur le cercle.
\(\cos(x) = \cos(\alpha) \iff x = \pm\alpha + 2k\pi\) ; \(\sin(x) = \sin(\alpha) \iff x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\).
cosinus : paire, période \(2\pi\) ; sinus : impaire, période \(2\pi\).
Sinusoïde \(A\cos(\omega t + \varphi)\) : amplitude \(A\), période \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).