Partie 1 · Définition de la fonction exponentielle
1) Propriété et définition
- \(\exp(0) = 1\)
- \(\big(\exp(x)\big)' = \exp(x)\) pour tout réel \(x\)
L'existence de cette fonction est admise en Première ; en revanche, on peut en démontrer une propriété essentielle, qui servira partout par la suite.
2) L'exponentielle ne s'annule jamais
En particulier, \(\exp(x) \neq 0\) et \(\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}\).
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = \exp(x) \times \exp(-x)\).
La fonction \(x \mapsto \exp(-x)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(x \mapsto -\exp(-x)\). Donc \(g\), produit de deux fonctions dérivables, est dérivable et :
\(g'(x) = \exp(x)\exp(-x) + \exp(x) \times \big(-\exp(-x)\big) = 0\)
La dérivée de \(g\) est nulle sur \(\mathbb{R}\) : \(g\) est donc constante. Or \(g(0) = \exp(0) \times \exp(0) = 1 \times 1 = 1\).
Donc \(g(x) = 1\) pour tout réel \(x\), c'est-à-dire \(\exp(x)\exp(-x) = 1\). Un produit égal à \(1\) ne peut pas contenir de facteur nul : \(\exp(x) \neq 0\), et \(\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}\).
3) Signe et variations
- La fonction exponentielle est strictement positive sur \(\mathbb{R}\) : \(\exp(x) > 0\) pour tout réel \(x\).
- Elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Signe. Pour tout réel \(x\), on écrit \(\exp(x) = \exp\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{2}\right) = \left(\exp\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\) (relation fonctionnelle, partie 2). Un carré est toujours positif ou nul, donc \(\exp(x) \geqslant 0\) ; et comme \(\exp(x) \neq 0\), on conclut \(\exp(x) > 0\).
Variations. \(\big(\exp(x)\big)' = \exp(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\) : la dérivée est strictement positive, donc la fonction exponentielle est strictement croissante.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| Signe de \(\big(e^x\big)'\) | \(+\) | ||
| Variations de \(e^x\) | \(0\) | ↗ (strictement croissante) | \(+\infty\) |
Partie 2 · Relation fonctionnelle et notation \(e^x\)
1) La relation fonctionnelle
- \(\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}\)
- \(\exp(x - y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\)
- \(\exp(nx) = \big(\exp(x)\big)^n\)
a) \(\exp(x)\exp(-x) = \exp\big(x + (-x)\big) = \exp(0) = 1\), donc \(\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)}\).
b) \(\exp(x - y) = \exp\big(x + (-y)\big) = \exp(x)\exp(-y) = \exp(x) \times \dfrac{1}{\exp(y)} = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}\).
2) La notation \(e^x\)
Comme \(\exp(x) = \exp(x \times 1) = \big(\exp(1)\big)^x = e^x\), on convient de noter, pour tout réel \(x\) : \[\exp(x) = e^x\]
| Valeurs | Signe | Somme → produit | Différence → quotient | Opposé | Puissance |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e^0 = 1\) \(e^1 = e\) |
\(e^x > 0\) | \(e^{x+y} = e^x e^y\) | \(e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}\) | \(e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}\) | \(\big(e^x\big)^n = e^{nx}\) |
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
\(A = \dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e^{-4}} \qquad B = \big(e^{-3}\big)^4 \times e^{5} \qquad C = \dfrac{1}{\big(e^{-2}\big)^3} + \dfrac{\big(e^{5}\big)^{-1}}{e^{-2} \times e^{-3}} \qquad D = \dfrac{\big(e^{3x}\big)^2}{e^{2x+1} \times e^{x-1}}\)
Correction
Réflexe : on ne « calcule » jamais \(e\) — on ne travaille que sur les exposants, avec les règles des puissances.
- \(e^{x+y} \neq e^x + e^y\) : la somme des exposants donne un produit.
- \(\big(e^{x}\big)^{n} = e^{nx}\), à ne pas confondre avec \(e^{x^n}\).
- \(e^x\) n'est jamais nul : une équation \(e^{\text{quelque chose}} = 0\) n'a aucune solution — pensez-y avant de vous lancer dans des calculs.
Partie 3 · Le nombre \(e\)
Comme \(\pi\), le nombre \(e\) est irrationnel : son écriture décimale est infinie et sans période. Il est même transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Ce n'est pas le cas de \(\sqrt{2}\), qui est irrationnel mais solution de \(x^2 = 2\) : on dit qu'il est algébrique.
C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707–1783) qui étudie le premier ce nombre en profondeur et lui donne son nom — sans doute pour l'initiale d'« exponentielle ». Dans son Introductio in Analysin infinitorum (1748), il propose :
\(e = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!} + \cdots\)
(rappel : \(4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24\)). Cette formule lui donne \(18\) décimales exactes. On lui doit aussi la démonstration de l'irrationalité de \(e\).
Partie 4 · Équations et inéquations
- \(e^{a} = e^{b} \iff a = b\)
- \(e^{a} < e^{b} \iff a < b\) (et de même avec \(\leqslant\), \(>\), \(\geqslant\))
a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{x^2 - 5} - e^{4x} = 0\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{3x + 2} \leqslant 1\).
Correction
a) On isole d'abord les deux exponentielles :
\(\mathcal{S} = \{-1\,;\,5\}\)
b) On écrit \(1\) sous forme exponentielle : \(1 = e^{0}\).
\(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,-\dfrac{2}{3}\right]\)
Réflexe : tout ramener à la forme \(e^{\square} = e^{\square}\) — les constantes s'écrivent \(1 = e^0\), \(e = e^1\), \(\dfrac{1}{e} = e^{-1}\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((2x - 6)\,e^{x} = 0\).
Correction
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Or \(e^x > 0\) pour tout réel \(x\) : le facteur \(e^x\) ne s'annule jamais. Il reste donc \(2x - 6 = 0\), soit \(x = 3\).
\(\mathcal{S} = \{3\}\)
Réflexe : devant un produit ou un quotient contenant \(e^x\), on commence toujours par dire « \(e^x > 0\) » : cela élimine un facteur et, plus tard, cela donnera le signe de la dérivée.
Partie 5 · Dérivation et étude de fonctions
1) Dérivées à connaître
- La fonction \(x \mapsto e^{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\big(e^{x}\big)' = e^{x}\).
- Pour tous réels \(a\) et \(b\), la fonction \(x \mapsto e^{ax + b}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\big(e^{ax + b}\big)' = a\,e^{ax + b}\).
La dérivée d'une fonction composée \(x \mapsto g(ax + b)\) est \(x \mapsto a\,g'(ax + b)\). En prenant \(g(x) = e^{x}\), pour laquelle \(g' = g\), on obtient \(\big(e^{ax + b}\big)' = a\,e^{ax + b}\).
Dériver les fonctions suivantes, définies sur \(\mathbb{R}\) :
\(f(x) = 5x - 2e^{x} \qquad g(x) = (2x + 3)e^{x} \qquad h(x) = \dfrac{e^{x}}{x^{2} + 1}\)
Correction
\(f\) — dérivation terme à terme : \(f'(x) = 5 - 2e^{x}\).
\(g\) — c'est un produit \(uv\), avec \(u(x) = 2x + 3\) donc \(u'(x) = 2\), et \(v(x) = e^{x}\) donc \(v'(x) = e^{x}\) :
\(h\) — c'est un quotient \(\dfrac{u}{v}\), avec \(u(x) = e^{x}\) et \(v(x) = x^{2} + 1\) donc \(v'(x) = 2x\) (et \(v(x) > 0\), donc \(h\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\)) :
Réflexe : on factorise toujours par \(e^{x}\) à la fin — c'est ce qui permettra d'étudier le signe de la dérivée.
2) Étude complète d'une fonction
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x - 3)e^{x}\).
a) Calculer \(f'(x)\). b) Dresser le tableau de variations de \(f\). c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(0\). d) Tracer l'allure de la courbe.
Correction
a) \(f = uv\) avec \(u(x) = x - 3\) donc \(u'(x) = 1\), et \(v(x) = e^{x}\) donc \(v'(x) = e^{x}\) :
b) Comme \(e^{x} > 0\) pour tout réel \(x\), \(f'(x)\) est du signe de \(x - 2\). La fonction affine \(x \mapsto x - 2\) a pour coefficient directeur \(1 > 0\) : elle est croissante, donc négative avant \(2\) et positive après \(2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| Variations de \(f\) | ↘ | \(-e^{2}\) | ↗ |
Le minimum vaut \(f(2) = (2 - 3)e^{2} = -e^{2} \approx -7{,}4\).
c) \(f(0) = (0 - 3)e^{0} = -3\) et \(f'(0) = e^{0}(0 - 2) = -2\). L'équation de la tangente en \(0\) est \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\), soit :
\(y = -2x - 3\)
d) On obtient l'allure suivante.
Partie 6 · Les fonctions \(t \mapsto e^{kt}\)
1) Dérivée et variations
- si \(k > 0\), la fonction \(t \mapsto e^{kt}\) est strictement croissante : c'est une croissance exponentielle ;
- si \(k < 0\), elle est strictement décroissante : c'est une décroissance exponentielle.
On a \(\big(e^{kt}\big)' = k\,e^{kt}\). Or \(e^{kt} > 0\) pour tout réel \(t\) : le signe de la dérivée est donc celui de \(k\).
Si \(k > 0\), la dérivée est strictement positive et la fonction est strictement croissante ; si \(k < 0\), la dérivée est strictement négative et la fonction est strictement décroissante.
Dériver les fonctions suivantes, définies sur \(\mathbb{R}\) :
\(f(t) = 4e^{-2t} \qquad g(t) = (t + 1)e^{2t} \qquad h(t) = \dfrac{3}{e^{5t}}\)
Correction
Réflexe : pour \(h\), on réécrit d'abord le quotient sous forme \(3e^{-5t}\) — beaucoup plus rapide que la formule du quotient.
2) Modéliser une évolution
Un échantillon radioactif a une masse \(m(t)\), en milligrammes, au bout de \(t\) heures. La physique donne \(m'(t) = -0{,}05\,m(t)\) sur \([0\,;40]\), et l'échantillon pèse \(200\) mg à l'instant initial.
1) Montrer que \(m(t) = A e^{-0{,}05t}\) convient, et déterminer \(A\). 2) Étudier les variations de \(m\). 3) Calculer la masse au bout de 10 h, puis de 24 h (arrondir au mg). 4) Déterminer la demi-vie de l'échantillon (arrondir à l'heure).
Correction
1) Si \(m(t) = A e^{-0{,}05t}\), alors \(m'(t) = A \times (-0{,}05)e^{-0{,}05t} = -0{,}05 \times A e^{-0{,}05t} = -0{,}05\,m(t)\) : l'égalité est bien vérifiée, la forme convient.
De plus \(m(0) = A e^{0} = A\), et l'énoncé donne \(m(0) = 200\), donc \(A = 200\) :
\(m(t) = 200\,e^{-0{,}05t}\)
2) Ici \(k = -0{,}05 < 0\) : la fonction \(t \mapsto e^{-0{,}05t}\) est strictement décroissante sur \([0\,;40]\), et \(200 > 0\), donc \(m\) est elle aussi strictement décroissante. La masse diminue — cohérent avec la situation.
3) À la calculatrice :
4) La demi-vie est le temps au bout duquel la masse est divisée par \(2\), soit \(m(t) = 100\). Avec le tableau de valeurs de la calculatrice (pas de \(0{,}1\)), on lit \(m(13{,}8) \approx 100{,}3\) et \(m(14) \approx 99{,}3\) : la demi-vie est d'environ 14 heures.
Réflexe : le signe de \(k\) donne le sens de variation, \(A\) se lit toujours en \(t = 0\) puisque \(e^{0} = 1\).
Partie 7 · Exponentielle et suites géométriques
La suite \(\big(e^{na}\big)\) est donc une suite géométrique de raison \(e^{a}\) et de premier terme \(e^{0} = 1\).
1) Déterminer la raison et le premier terme des suites de terme général :
\(u_n = e^{5n} \qquad v_n = 3e^{-2n} \qquad w_n = -e^{\frac{n}{4}} \qquad z_n = e^{3n + 2}\)
2) Déterminer une expression de la suite géométrique de raison \(e^{2}\) et de premier terme \(5\), puis donner ses variations.
Correction
1) On cherche à écrire chaque terme sous la forme \(u_0 \, q^{n}\).
2) \(u_n = 5 \times \big(e^{2}\big)^{n} = 5e^{2n}\).
Comme \(e > 1\), on a \(e^{2} > 1\), et le premier terme \(5\) est positif : la suite est croissante.
Réflexe : pour la question 1, on isole ce qui ne dépend pas de \(n\) (c'est \(u_0\)) et on regroupe le reste sous la forme \((\ldots)^{n}\).
À retenir
- \(\exp\) est l'unique fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f' = f\) et \(f(0) = 1\). On note \(\exp(x) = e^{x}\), avec \(e \approx 2{,}718\).
- \(e^{x} > 0\) pour tout réel \(x\) : à dire systématiquement pour étudier un signe ou résoudre une équation produit.
- \(e^{x+y} = e^{x}e^{y}\), \(e^{x-y} = \dfrac{e^{x}}{e^{y}}\), \(e^{-x} = \dfrac{1}{e^{x}}\), \(\big(e^{x}\big)^{n} = e^{nx}\) — les règles des puissances.
- \(e^{a} = e^{b} \iff a = b\) et \(e^{a} < e^{b} \iff a < b\) (l'exponentielle est strictement croissante).
- \(\big(e^{x}\big)' = e^{x}\) et \(\big(e^{ax+b}\big)' = a\,e^{ax+b}\) ; on factorise par \(e^{x}\) avant d'étudier le signe.
- \(t \mapsto e^{kt}\) : croissante si \(k > 0\), décroissante si \(k < 0\), toujours égale à \(1\) en \(t = 0\).
- Une évolution telle que \(f' = kf\) se modélise par \(f(t) = A\,e^{kt}\), avec \(A = f(0)\).
- \(\big(e^{na}\big)\) est géométrique de raison \(e^{a}\).