Récurrence & Limites de suites – Fiche de cours Terminale

Un peu d'histoire

Le principe du raisonnement par récurrence est attribué au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858–1932), qui le formalise dans ses axiomes des entiers naturels. Le nom « récurrence » aurait été donné par Henri Poincaré (1854–1912). L'idée, elle, est bien plus ancienne : on en trouve des traces chez Pascal au XVII^e siècle dans son étude du triangle arithmétique.

Objectifs du chapitre

Démontrer une propriété portant sur tous les entiers $n$ à l'aide d'un raisonnement par récurrence rigoureusement rédigé.
Maîtriser l'inégalité de Bernoulli et savoir la démontrer.
Déterminer la limite d'une suite par les opérations, par comparaison ou par encadrement.
Reconnaître et lever les quatre formes indéterminées.
Connaître le comportement d'une suite géométrique et le théorème de convergence monotone.
Déterminer la limite d'une suite définie par récurrence (point fixe).

1 Le raisonnement par récurrence

1.1 L'idée : l'effet domino

Imaginons une file infinie de dominos régulièrement espacés. Pour être certain que tous les dominos tombent, deux conditions suffisent :

Amorce

Le premier domino tombe.

→

Propagation

Si un domino quelconque tombe, alors il fait tomber le suivant.

⇒

Conclusion

Tous les dominos tombent.

Transposé aux mathématiques : si une propriété $P(n)$ est vraie au premier rang (l'amorce) et si « $P(n)$ vraie $\Rightarrow P(n+1)$ vraie » (la propagation), alors $P(n)$ est vraie pour tout entier.

1.2 Le principe

Définition — Propriété héréditaire

Soit $n_0$ un entier naturel. Une propriété $P(n)$ est dite héréditaire à partir du rang $n_0$ si, pour tout entier $n \geqslant n_0$ :

P(n) \text{ vraie} \;\Longrightarrow\; P(n+1) \text{ vraie}.

Théorème — Principe de récurrence

Soit $P(n)$ une propriété définie pour tout entier $n \geqslant n_0$ . Si :

Initialisation : $P(n_0)$ est vraie ;
Hérédité : $P(n)$ est héréditaire à partir du rang $n_0$ ;

alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geqslant n_0$ .

1.3 Rédaction type d'une récurrence

Méthode — Les quatre étapes à toujours écrire

Énoncé. On note $P(n)$ la propriété : « ... ». Montrons par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$ .
Initialisation. On vérifie que $P(n_0)$ est vraie (calcul explicite des deux membres).
Hérédité. Soit $n \geqslant n_0$ fixé. On suppose $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence, HR) et on démontre $P(n+1)$ .
Conclusion. $P(n)$ est initialisée et héréditaire ; d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$ .

Exemple — Expression explicite d'une suite

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 3u_n + 2$ . Démontrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n = 3^n - 1$ .

Initialisation. $u_0 = 0$ et $3^0 - 1 = 0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ . Supposons $u_n = 3^n - 1$ . Alors

u_{n+1} = 3u_n + 2 = 3\,(3^n - 1) + 2 = 3^{n+1} - 3 + 2 = 3^{n+1} - 1,

donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n = 3^n - 1$ .

1.4 L'inégalité de Bernoulli

Théorème — Inégalité de Bernoulli

Pour tout réel $a \geqslant 0$ et tout entier naturel $n$ :

(1 + a)^n \geqslant 1 + na.

Démonstration (exigible)

Initialisation. Pour $n = 0$ : $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ , donc l'inégalité est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ . Supposons $(1+a)^n \geqslant 1 + na$ . Comme $1 + a \gt 0$ , on multiplie sans changer le sens :

(1+a)^{n+1} = (1+a)(1+a)^n \geqslant (1+a)(1+na) = 1 + na + a + na^2.

Or $na^2 \geqslant 0$ , donc

(1+a)^{n+1} \geqslant 1 + (n+1)a + na^2 \geqslant 1 + (n+1)a.

$P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $(1+a)^n \geqslant 1 + na$ .

1.5 Applications aux suites

Exemple — Démontrer une monotonie

Soit $(u_n)$ : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \tfrac{1}{3}u_n + 2$ . Montrons que $(u_n)$ est croissante, c'est-à-dire $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n$ .

Initialisation. $u_0 = 2$ et $u_1 = \tfrac{1}{3}\times 2 + 2 = \tfrac{8}{3} \gt 2$ , donc $u_1 \geqslant u_0$ .

Hérédité. Supposons $u_{n+1} \geqslant u_n$ . En multipliant par $\tfrac{1}{3} \gt 0$ puis en ajoutant $2$ :

\tfrac{1}{3}u_{n+1} + 2 \;\geqslant\; \tfrac{1}{3}u_n + 2 \quad\text{soit}\quad u_{n+2} \geqslant u_{n+1}.

Conclusion. $(u_n)$ est croissante.

Exemple — Démontrer un encadrement (suite majorée)

Avec la même suite, montrons que $(u_n)$ est majorée par $3$ : $u_n \lt 3$ pour tout $n$ .

Initialisation. $u_0 = 2 \lt 3$ .

Hérédité. Supposons $u_n \lt 3$ . Alors $\tfrac{1}{3}u_n \lt 1$ puis $\tfrac{1}{3}u_n + 2 \lt 3$ , soit $u_{n+1} \lt 3$ .

Conclusion. Pour tout $n$ , $u_n \lt 3$ .

1.6 Les deux pièges à éviter

Attention — L'initialisation est indispensable

Considérons « $2^n$ est divisible par $3$ ». Supposons $2^n = 3k$ . Alors $2^{n+1} = 2 \times 3k = 3(2k)$ : la propriété est héréditaire. Pourtant elle est fausse ( $2^0 = 1$ n'est pas divisible par $3$ ), car l'initialisation échoue. Sans amorce, aucun domino ne tombe.

Attention — Vérifier sur les premiers rangs ne prouve rien

Le polynôme $n^2 - n + 41$ donne un nombre premier pour $n = 0, 1, 2, \dots, 40$ . On pourrait croire la propriété « $n^2 - n + 41$ est premier » vraie partout. Mais pour $n = 41$ : $41^2 - 41 + 41 = 41^2$ , qui n'est pas premier. Tester ne démontre jamais : seule l'hérédité le fait.

2 Limites de suites

2.1 Limite finie — convergence

Définition — Suite convergente

La suite $(u_n)$ a pour limite le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note :

\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell,

et l'on dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$ . Lorsqu'elle existe, la limite est unique.

2.2 Limite infinie — divergence

Définition — Limite infinie

$(u_n)$ a pour limite $+\infty$ si tout intervalle $\,]A\,;+\infty[\,$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang (idée : les termes finissent par dépasser n'importe quel $A$ ). On note $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ . Définition analogue avec $\,]-\infty\,;B[\,$ pour $-\infty$ . On dit alors que $(u_n)$ diverge vers l'infini.

Attention — Diverger ≠ tendre vers l'infini

Une suite peut diverger sans limite infinie : $u_n = (-1)^n$ oscille entre $-1$ et $1$ , elle n'a ni limite finie ni limite infinie. Elle est simplement divergente.

2.3 Suites de référence

Propriété — Limites usuelles

Tendent vers $+\infty$ :

\lim \sqrt{n} = \lim n = \lim n^2 = \lim n^k = +\infty \;\; (k \in \mathbb{N}^*).

Tendent vers $0$ :

\lim \frac{1}{\sqrt{n}} = \lim \frac{1}{n} = \lim \frac{1}{n^2} = \lim \frac{1}{n^k} = 0.

2.4 Opérations sur les limites

Les résultats ci-dessous sont intuitifs (somme, produit, quotient des limites). Seuls quelques cas donnent des formes indéterminées (F.I.) que l'on ne peut pas conclure directement.

Limite d'une somme $u_n + v_n$

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$\lim (u_n+v_n)$	$\ell+\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	F.I.

Limite d'un produit $u_n \times v_n$

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$  ≠ 0	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
$\lim (u_n v_n)$	$\ell\,\ell'$	$\infty^{*}$	$\infty^{*}$	F.I.

Limite d'un quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$  ≠ 0	$\ell$	$\infty$	$\infty$	$0$
$\lim v_n$	$\ell'$  ≠ 0	$0$	$\infty$	$\ell'$	$\infty$	$0$
$\lim \frac{u_n}{v_n}$	$\frac{\ell}{\ell'}$	$\infty^{*}$	$0$	$\infty^{*}$	F.I.	F.I.

$^{*}$ On applique la règle des signes pour décider entre $+\infty$ et $-\infty$ .

Les quatre formes indéterminées

\infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \frac{0}{0}

Devant une F.I., il faut transformer l'écriture de $u_n$ avant de conclure.

2.5 Lever une indétermination

Méthode 1 — Factoriser par le terme dominant

Pour un polynôme ou un quotient de polynômes, on factorise par le monôme de plus haut degré.

n^2 - 5n + 1 = n^2\!\left(1 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}\right).

Comme $\lim\big(1 - \tfrac{5}{n} + \tfrac{1}{n^2}\big) = 1$ et $\lim n^2 = +\infty$ , par produit $\lim (n^2 - 5n + 1) = +\infty$ .

Exemple — Quotient de polynômes

\frac{5n^2 + 4}{4n^2 + 3n} = \frac{n^2\!\left(5 + \tfrac{4}{n^2}\right)}{n^2\!\left(4 + \tfrac{3}{n}\right)} = \frac{5 + \tfrac{4}{n^2}}{4 + \tfrac{3}{n}} \;\xrightarrow[n\to+\infty]{}\; \frac{5}{4}.

Méthode 2 — Multiplier par l'expression conjuguée

Pour une différence de racines (« $\infty - \infty$ ») :

\sqrt{n+2} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}} \;\xrightarrow[n\to+\infty]{}\; 0.

2.6 Limites par comparaison et par encadrement

Théorèmes de comparaison

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites. À partir d'un certain rang :

\left.\begin{aligned} u_n \geqslant v_n \\ \lim v_n = +\infty \end{aligned}\right\} \Rightarrow \lim u_n = +\infty, \qquad \left.\begin{aligned} u_n \leqslant v_n \\ \lim v_n = -\infty \end{aligned}\right\} \Rightarrow \lim u_n = -\infty.

Théorème des gendarmes (encadrement)

Soit $(u_n)$ , $(v_n)$ , $(w_n)$ trois suites. Si, à partir d'un certain rang, $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ et si $\lim u_n = \lim w_n = \ell$ , alors :

\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell.

Les deux « gendarmes » $(u_n)$ et $(w_n)$ se resserrent autour de $(v_n)$ et la forcent à converger.

Démonstration — Comparaison vers

+\infty

(exigible)

Soit $A$ un réel. Comme $\lim v_n = +\infty$ , l'intervalle $\,]A\,;+\infty[\,$ contient tous les $v_n$ à partir d'un rang $n_1$ : pour $n \geqslant n_1$ , $v_n \gt A$ . Par ailleurs $u_n \geqslant v_n$ à partir d'un rang $n_2$ . Donc pour $n \geqslant \max(n_1, n_2)$ , on a $u_n \geqslant v_n \gt A$ , c'est-à-dire $u_n \in \,]A\,;+\infty[$ . Tout intervalle $\,]A\,;+\infty[$ contient donc tous les $u_n$ à partir d'un certain rang : $\lim u_n = +\infty$ .

Exemples

Gendarmes. Pour $u_n = \dfrac{\sin n}{n+1}$ : $-\dfrac{1}{n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$ , et les deux bornes tendent vers $0$ , donc $\lim u_n = 0$ .

Comparaison. Pour $v_n = n + \sin n$ : $v_n \geqslant n - 1$ et $\lim (n-1) = +\infty$ , donc $\lim v_n = +\infty$ .

2.7 Limite d'une suite géométrique

Théorème — Comportement de

q^n

Valeur de $q$	$q \leqslant -1$	$-1 \lt q \lt 1$	$q = 1$	$q \gt 1$
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n$	pas de limite	$0$	$1$	$+\infty$

Démonstration — Cas

q \gt 1

(exigible)

Si $q \gt 1$ , on pose $q = 1 + a$ avec $a \gt 0$ . D'après l'inégalité de Bernoulli :

q^n = (1+a)^n \geqslant 1 + na.

Or $\lim (1 + na) = +\infty$ car $a \gt 0$ . Par comparaison, $\lim q^n = +\infty$ .

Exemple — Suite arithmético-géométrique

Soit $(u_n)$ : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 5$ . On pose $v_n = u_n + 5$ .

$v_{n+1} = u_{n+1} + 5 = 2u_n + 10 = 2(u_n + 5) = 2v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ , de premier terme $v_0 = 7$ .

Donc $v_n = 7 \times 2^n$ puis $u_n = 7 \times 2^n - 5$ . Comme $\lim 2^n = +\infty$ , on a $\lim u_n = +\infty$ .

2.8 Convergence des suites monotones

Définition — Suites majorée, minorée, bornée

$(u_n)$ est majorée s'il existe $M$ tel que $u_n \leqslant M$ pour tout $n$ .
$(u_n)$ est minorée s'il existe $m$ tel que $u_n \geqslant m$ pour tout $n$ .
$(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème de convergence monotone

Si $(u_n)$ est croissante et majorée, alors elle converge.
Si $(u_n)$ est décroissante et minorée, alors elle converge.

Corollaire — Divergence vers l'infini

Si $(u_n)$ est croissante et non majorée, alors $\lim u_n = +\infty$ .
Si $(u_n)$ est décroissante et non minorée, alors $\lim u_n = -\infty$ .

Attention

Le théorème assure l'existence de la limite mais ne la donne pas. De plus, en passant à la limite, une inégalité stricte devient large : si $u_n \lt 2$ pour tout $n$ , on obtient seulement $\ell \leqslant 2$ .

2.9 Limite d'une suite définie par récurrence

Méthode — Le « point fixe »

Si $(u_n)$ vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ continue, et si $(u_n)$ converge vers $\ell$ , alors $\ell$ est solution de l'équation $\ell = f(\ell)$ . On prouve d'abord la convergence (suite monotone bornée), puis on résout.

Exemple complet

Soit $(u_n)$ : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \tfrac{1}{3}u_n + 2$ . On a déjà montré (§1.5) qu'elle est croissante et majorée par $3$ .

D'après le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ . En passant à la limite dans $u_{n+1} = \tfrac{1}{3}u_n + 2$ :

\ell = \tfrac{1}{3}\ell + 2 \;\Longleftrightarrow\; \tfrac{2}{3}\ell = 2 \;\Longleftrightarrow\; \ell = 3.

La suite $(u_n)$ converge donc vers $3$ .

À retenir

Récurrence

Quatre étapes : énoncé, initialisation, hérédité, conclusion.
Sans initialisation, on démontre du faux.
Bernoulli : $(1+a)^n \geqslant 1 + na$ pour $a \geqslant 0$ .

Limites

$\lim \tfrac{1}{n^k} = 0$ ; $\lim n^k = +\infty$ .
F.I. : $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .
Lever une F.I. : facteur dominant ou conjugué.

Outils puissants

Gendarmes (limite finie) et comparaison (limite infinie).
$q^n$ : $0$ si $|q|\lt 1$ , $+\infty$ si $q\gt 1$ .
Monotone + bornée $\Rightarrow$ converge ; point fixe $\ell = f(\ell)$ .