En classe de Première, vous avez appris qu'un trinôme du second degré de discriminant strictement négatif n'admet aucune racine réelle. Ce constat a longtemps intrigué les mathématiciens : et si l'on autorisait malgré tout l'existence d'une racine carrée à un nombre négatif ? C'est cette idée, jugée absurde pendant des siècles, qui a fini par donner naissance à un nouvel ensemble de nombres, noté ℂ.
L'histoire des nombres complexes commence par une provocation mathématique : au XVIe siècle, l'Italien Gerolamo Cardano ose écrire des racines carrées de nombres négatifs pour résoudre certaines équations du troisième degré, sans trop savoir quoi en penser. Quelques décennies plus tard, Rafaele Bombelli pose les premières règles de calcul sur ces quantités étranges. Le mot « imaginaire » lui-même vient du philosophe et mathématicien René Descartes, qui l'emploie dès 1637 dans un sens plutôt méprisant. Il faudra attendre Euler, en 1777, pour voir apparaître la notation i, puis les travaux de Gauss au XIXe siècle pour que ces nombres soient enfin acceptés comme aussi « réels » que les autres.
1 L'ensemble ℂ
Définition
On admet qu'il existe un ensemble, noté \(\mathbb{C}\) et appelé ensemble des nombres complexes, vérifiant les points suivants :
- tout nombre réel est un nombre complexe : \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\) ;
- on peut additionner et multiplier deux nombres complexes, et ces opérations suivent les mêmes règles que dans \(\mathbb{R}\) ;
- \(\mathbb{C}\) contient un nombre, noté \(i\), vérifiant \(i^2=-1\) ;
- tout \(z\in\mathbb{C}\) peut s'écrire, d'une seule façon, \(z=a+ib\) où \(a\) et \(b\) sont des réels.
Vocabulaire — On appelle forme algébrique de \(z\) l'écriture \(z=a+ib\). Le réel \(a\) est appelé partie réelle de \(z\) et noté \(\operatorname{Re}(z)\) ; le réel \(b\) est sa partie imaginaire, notée \(\operatorname{Im}(z)\).
- Lorsque \(b=0\), le nombre \(z\) est réel.
- Lorsque \(a=0\), on dit que \(z\) est imaginaire pur.
- Attention : \(\operatorname{Re}(z)\) et \(\operatorname{Im}(z)\) sont deux nombres réels — la partie imaginaire ne contient jamais le symbole \(i\).
\(-7+4i\), \(3-i\) et \(\dfrac{2i}{5}\) sont des nombres complexes. Tout nombre réel, comme \(-1\), \(\sqrt5\) ou \(0\), est également un nombre complexe (de partie imaginaire nulle).
a) Deux nombres complexes sont égaux exactement lorsqu'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
b) Un nombre complexe est nul exactement lorsque ses deux parties, réelle et imaginaire, sont nulles.
Ces deux points découlent directement du caractère unique de l'écriture algébrique : si deux formes \(a+ib\) et \(a'+ib'\) désignent le même complexe, l'unicité impose \(a=a'\) et \(b=b'\).
Calculer avec les nombres complexes
Les règles de calcul dans \(\mathbb{C}\) sont identiques à celles de \(\mathbb{R}\) : la seule chose à ajouter est de remplacer \(i^2\) par \(-1\) dès qu'il apparaît dans un calcul.
Réduire chacune des expressions suivantes et donner le résultat sous forme algébrique.
\(z_1 = 8-5i-(3i-2)\)
\(z_2=(2+5i)(4-i)\)
\(z_3=(1-4i)^2\)
\(z_4=(2i)^9\)
\(z_5=\dfrac{1}{2+3i}\)
\(z_6=\dfrac{3-i}{2+i}\)
\(z_1 = 8-5i-3i+2 = 10-8i\)
\(z_2 = 8-2i+20i-5i^2 = 8+18i+5 = 13+18i\)
\(z_3 = 1-8i+16i^2 = 1-8i-16 = -15-8i\)
\(z_4 = 2^9 i^9 = 512\times i^{8+1}=512\times i = 512i\)
\(z_5 = \dfrac{1}{2+3i}=\dfrac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)}=\dfrac{2-3i}{4+9}=\dfrac{2}{13}-\dfrac{3}{13}i\)
\(z_6 = \dfrac{3-i}{2+i}=\dfrac{(3-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\dfrac{6-3i-2i+i^2}{4+1}=\dfrac{5-5i}{5}=1-i\)
Pour transformer un quotient en forme algébrique, on multiplie systématiquement le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (voir partie suivante) : le produit \((a+ib)(a-ib)=a^2+b^2\) étant réel, le \(i\) disparaît toujours du dénominateur.
2 Conjugué d'un nombre complexe
Soit \(z=a+ib\) un nombre complexe (\(a,b\in\mathbb R\)). Le conjugué de \(z\), noté \(\bar z\), est défini par :
\[\bar z = a-ib\]
\(z=3+8i \ \Rightarrow\ \bar z=3-8i\)
\(z=-5-2i \ \Rightarrow\ \bar z=-5+2i\)
\(z=9i \ \Rightarrow\ \bar z=-9i\) \(z=-6 \ \Rightarrow\ \bar z=-6\) (un nombre réel est toujours son propre conjugué)
a) \(\overline{\bar z} = z\)
b) \(\overline{z+z'} = \bar z+\bar z'\)
c) \(\overline{z\times z'} = \bar z\times \bar z'\)
d) \(\overline{z^n} = \bar z^{\,n}\)
e) \(\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)} = \dfrac{1}{\bar z}\ (z\neq0)\)
f) \(\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\bar z}{\bar z'}\ (z'\neq0)\)
Notons \(z=a+ib\) et \(z'=a'+ib'\), avec \(a,b,a',b'\) réels.
c) Le produit \(zz'\) vaut \((aa'-bb')+i(ab'+a'b)\), donc \(\overline{zz'}=(aa'-bb')-i(ab'+a'b)\).
Par ailleurs \(\bar z\,\bar z' = (a-ib)(a'-ib')\), ce qui donne, après développement, la même expression \((aa'-bb')-i(ab'+a'b)\).
e) On sait que \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}\), donc \(\overline{\left(\dfrac1z\right)}=\dfrac{a+ib}{a^2+b^2}\).
Or \(\dfrac{1}{\bar z}=\dfrac{1}{a-ib}=\dfrac{a+ib}{a^2+b^2}\) également. Le point d) se déduit ensuite de c) par récurrence, et f) en combinant c) et e).
a) \(z\) est réel \(\Longleftrightarrow z=\bar z\) b) \(z\) est imaginaire pur \(\Longleftrightarrow z=-\bar z\)
Pour tout \(z=a+ib\) :
\[z\bar z = a^2+b^2\]
\(z\bar z = (a+ib)(a-ib) = a^2-(ib)^2 = a^2-i^2b^2 = a^2+b^2\). Ce résultat, toujours un réel positif, sera repris au chapitre 2 pour définir le module de \(z\).
Donner le conjugué, sous forme algébrique, de :
\(z_1=(5+i)(2-3i)\) \(z_2=\dfrac{6-2i}{3i}\)
\(z_1 = 10-15i+2i-3i^2 = 10-13i+3 = 13-13i\), donc \(\bar z_1 = 13+13i\).
\(z_2 = \dfrac{6-2i}{3i}=\dfrac{(6-2i)\times(-i)}{3i\times(-i)}=\dfrac{-6i+2i^2}{3}=\dfrac{-6i-2}{3}=-\dfrac23-2i\), donc \(\bar z_2 = -\dfrac23+2i\).
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : a) \(7z+2=3z-8i\) b) \(3z-\bar z=6-8i\)
a) L'inconnue n'apparaît pas sous forme conjuguée : on isole \(z\) comme dans \(\mathbb R\).
\(7z-3z=-8i-2 \Rightarrow 4z=-2-8i \Rightarrow z=-\dfrac12-2i\).
b) L'équation mêle \(z\) et \(\bar z\) : on pose \(z=x+iy\), avec \(x,y\) réels.
\(3(x+iy)-(x-iy)=6-8i\)
\(2x+4iy = 6-8i\)
Par unicité de la forme algébrique : \(2x=6\) et \(4y=-8\), soit \(x=3\) et \(y=-2\).
D'où \(z=3-2i\).
3 Formule du binôme de Newton
Pour tous nombres complexes \(a\), \(b\) et tout entier naturel \(n\) :
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}\]
Les coefficients binomiaux \(\binom{n}{k}\) se lisent sur la \(n\)-ième ligne du triangle de Pascal.
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | |||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Développer \((z-2)^4\).
On lit la ligne \(n=4\) du triangle de Pascal : \(1\ ;\ 4\ ;\ 6\ ;\ 4\ ;\ 1\).
\((z-2)^4 = z^4+4z^3(-2)+6z^2(-2)^2+4z(-2)^3+(-2)^4\)
\((z-2)^4 = z^4-8z^3+24z^2-32z+16\)
\((1-i)^2 = 1-2i+i^2=-2i\), donc \((1-i)^3=(1-i)\times(-2i)=-2i+2i^2=-2-2i\).
On peut retrouver ce résultat directement avec le binôme : \((1-i)^3=1-3i+3i^2-i^3=1-3i-3+i=-2-2i\).
- Un nombre complexe s'écrit toujours, et d'une seule façon, \(z=a+ib\), avec \(a=\operatorname{Re}(z)\), \(b=\operatorname{Im}(z)\) réels et \(i^2=-1\).
- Égalité de deux complexes ⇔ mêmes parties réelle et imaginaire ; complexe nul ⇔ ses deux parties sont nulles.
- Conjugué de \(a+ib\) : \(a-ib\). Il commute avec \(+\), \(\times\), \(\div\) et les puissances ; \(z\bar z=a^2+b^2\) est toujours réel positif.
- \(z\) réel \(\Leftrightarrow z=\bar z\) \(z\) imaginaire pur \(\Leftrightarrow z=-\bar z\)
- Pour un quotient : multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur.
- \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom nk a^k b^{n-k}\), coefficients donnés par le triangle de Pascal.