Il existe un lien profond entre la trigonométrie et les nombres complexes. Ce chapitre introduit la notation exponentielle \(e^{i\theta}\), qui va transformer des calculs de produits ou de puissances de complexes en simples additions ou multiplications d'angles.
1 Formules de trigonométrie
Formules d'addition
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
\(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)
\(\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\)
\(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\)
On travaille dans le repère orthonormé direct \((O;\vec\imath,\vec\jmath)\) muni du cercle trigonométrique de centre O. Soient \(A\) et \(B\) les points du cercle tels que \((\vec\imath;\overrightarrow{OA})=a\) et \((\vec\imath;\overrightarrow{OB})=b\) ; ainsi \(\overrightarrow{OA}(\cos a\,;\sin a)\) et \(\overrightarrow{OB}(\cos b\,;\sin b)\).
Le produit scalaire \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\) se calcule de deux façons. Avec les coordonnées, il vaut \(\cos a\cos b+\sin a\sin b\). Géométriquement, comme \((\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})=b-a\) par la relation de Chasles, il vaut aussi \(\|\overrightarrow{OA}\|\,\|\overrightarrow{OB}\|\cos(b-a)=\cos(a-b)\) puisque le cosinus est une fonction paire.
En rapprochant les deux écritures : \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\). Les trois autres formules en découlent, en remplaçant \(b\) par \(-b\) ou \(a\) par \(\frac\pi2-a\).
Calculer \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}\), en remarquant que \(\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\).
\(\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\dfrac\pi3\cos\dfrac\pi4+\sin\dfrac\pi3\sin\dfrac\pi4=\dfrac12\times\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
\(\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\dfrac\pi3\cos\dfrac\pi4-\cos\dfrac\pi3\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac12\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\)
Formules de duplication
Pour tout réel \(a\) :
\(\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a \qquad\qquad \sin(2a)=2\sin a\cos a\)
Il s'agit du cas \(b=a\) des formules d'addition ; les deux autres écritures de \(\cos(2a)\) proviennent ensuite de la relation \(\cos^2a+\sin^2a=1\).
Calculer \(\cos\dfrac{5\pi}{8}\) et \(\sin\dfrac{5\pi}{8}\), sachant que \(2\times\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{5\pi}{4}\).
\(\cos\dfrac{5\pi}{4}=2\cos^2\dfrac{5\pi}{8}-1\), donc \(\cos^2\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac12\left(1+\cos\dfrac{5\pi}{4}\right)=\dfrac12\left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\dfrac{2-\sqrt2}{4}\)
Or \(\dfrac{5\pi}{8}\) appartient à \(\left]\dfrac\pi2;\pi\right[\) : son cosinus est négatif. Donc \(\cos\dfrac{5\pi}{8}=-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\)
De même, \(\sin^2\dfrac{5\pi}{8}=1-\cos^2\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{2+\sqrt2}{4}\). Comme le sinus d'un angle de \(\left]\dfrac\pi2;\pi\right[\) est positif : \(\sin\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\)
Résoudre dans \([0\,;2\pi]\) l'équation \(\cos(2x)+\cos x=0\).
D'après la formule de duplication, \(\cos(2x)=2\cos^2x-1\), donc l'équation devient :
\(2\cos^2x-1+\cos x=0 \iff 2\cos^2x+\cos x-1=0\)
On pose \(X=\cos x\) : \(2X^2+X-1=0\). Le discriminant vaut \(\Delta=1+8=9\), donc :
\(X_1=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac12 \qquad\text{et}\qquad X_2=\dfrac{-1-3}{4}=-1\)
\(\cos x=\dfrac12 \iff x=\dfrac\pi3 \text{ ou } x=\dfrac{5\pi}{3}\) \(\cos x=-1 \iff x=\pi\)
D'où \(S=\left\{\dfrac\pi3\,;\,\pi\,;\,\dfrac{5\pi}{3}\right\}\)
2 Forme exponentielle d'un nombre complexe
Posons \(f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta\). Les formules d'addition établies plus haut montrent que, pour tous réels \(\theta,\theta'\) :
\[f(\theta)\,f(\theta')=f(\theta+\theta')\]
C'est précisément la relation fonctionnelle que vérifient les exponentielles usuelles. Cette analogie justifie la notation ci-dessous.
Pour tout réel \(\theta\), on pose :
\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\]
Autrement dit, \(e^{i\theta}\) est le complexe de module \(1\) et d'argument \(\theta\).
\[e^{i\pi}=-1\]
\(e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1+i\times0=-1\)
Établie par Euler en 1748, cette égalité est souvent réécrite \(e^{i\pi}+1=0\). Le physicien Richard Feynman la qualifiait de « formule la plus remarquable des mathématiques », car elle réunit en une seule ligne cinq constantes majeures — \(0\), \(1\), \(i\), \(\pi\) et \(e\) — et donc trois branches distinctes des mathématiques : l'algèbre, l'analyse et la géométrie.
Un nombre complexe \(z\) non nul, de module \(r\) et d'argument \(\theta\), admet la forme exponentielle :
\[z=re^{i\theta}\]
1) Écrire sous forme exponentielle : \(z_1=7i\), \(z_2=-6\), \(z_3=3-3i\sqrt3\)
2) Écrire sous forme algébrique : \(z_4=e^{i\pi/3}\), \(z_5=4e^{i\pi/6}\)
\(|z_1|=7\) et, graphiquement, \(\arg(z_1)=\dfrac\pi2\), donc \(z_1=7e^{i\pi/2}\)
\(|z_2|=6\) et \(\arg(z_2)=\pi\), donc \(z_2=6e^{i\pi}\)
\(|z_3|=\sqrt{3^2+(3\sqrt3)^2}=\sqrt{9+27}=6\). Puis \(\dfrac{z_3}{|z_3|}=\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\).
Donc \(z_3=6e^{-i\pi/3}\)
\(z_4=\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\)
\(z_5=4\left(\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\right)=4\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{i}{2}\right)=2\sqrt3+2i\)
a) \(e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\)
b) \(\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\)
c) \(\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}\)
d) \(\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\)
1) Déterminer la forme exponentielle de \(z=\sqrt3-i\).
2) En déduire la forme exponentielle de \(z^3\), \(\bar z\) et \(-\dfrac1z\).
\(|z|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=\sqrt4=2\). Puis \(\dfrac{z}{|z|}=\dfrac{\sqrt3}{2}-i\dfrac12=\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\).
Donc \(z=2e^{-i\pi/6}\).
\(z^3=2^3e^{-i3\pi/6}=8e^{-i\pi/2}\)
\(\bar z=2e^{i\pi/6}\) \(\dfrac1z=\dfrac12e^{i\pi/6}\), donc \(-\dfrac1z=\dfrac12e^{i\left(\pi/6+\pi\right)}=\dfrac12e^{i7\pi/6}\)
3 Formules de Moivre et d'Euler
Pour tout réel \(\theta\) et tout entier naturel \(n\) :
\[\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta} \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad (\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\]
D'après la formule de Moivre : \(\cos(4\theta)+i\sin(4\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^4\)
Le binôme de Newton (chapitre 1) donne :
\((\cos\theta+i\sin\theta)^4=\cos^4\theta+4i\cos^3\theta\sin\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta-4i\cos\theta\sin^3\theta+\sin^4\theta\)
En identifiant les parties réelles : \(\cos(4\theta)=\cos^4\theta-6\cos^2\theta\sin^2\theta+\sin^4\theta\)
On remplace \(\sin^2\theta\) par \(1-\cos^2\theta\) :
\(\cos(4\theta)=\cos^4\theta-6\cos^2\theta(1-\cos^2\theta)+(1-\cos^2\theta)^2\)
\(=\cos^4\theta-6\cos^2\theta+6\cos^4\theta+1-2\cos^2\theta+\cos^4\theta = 8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\)
Pour tout réel \(\theta\) :
\[\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad\qquad \sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\]
a) Linéariser \(\sin^3\theta\).
b) En déduire une primitive de \(\theta\mapsto\sin^3\theta\).
a) D'après la formule d'Euler : \(\sin^3\theta=\left(\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3=\dfrac{\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^3}{-8i}\)
En développant \((x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\) avec \(x=e^{i\theta}\), \(y=e^{-i\theta}\) :
\(\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)^3=e^{3i\theta}-3e^{i\theta}+3e^{-i\theta}-e^{-3i\theta}=\left(e^{3i\theta}-e^{-3i\theta}\right)-3\left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right)\)
\(=2i\sin(3\theta)-3\times2i\sin\theta=2i\big(\sin(3\theta)-3\sin\theta\big)\)
Donc \(\sin^3\theta=\dfrac{2i\big(\sin(3\theta)-3\sin\theta\big)}{-8i}=\dfrac{3\sin\theta-\sin(3\theta)}{4}\)
b) Une primitive de \(\theta\mapsto\dfrac{3\sin\theta-\sin(3\theta)}{4}\) est :
\(\theta\mapsto -\dfrac34\cos\theta+\dfrac{1}{12}\cos(3\theta)\)
- Formules d'addition : \(\cos(a\pm b)\), \(\sin(a\pm b)\) ; formules de duplication : \(\cos(2a)\), \(\sin(2a)=2\sin a\cos a\).
- Notation d'Euler : \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\), complexe de module 1 et d'argument \(\theta\) ; en particulier \(e^{i\pi}=-1\).
- Forme exponentielle : tout complexe non nul s'écrit \(z=re^{i\theta}\), avec \(r=|z|\) et \(\theta=\arg(z)\).
- \(e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\), \(\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\), \(\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\).
- Formule de Moivre : \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\) — pratique pour exprimer \(\cos(n\theta)\) ou \(\sin(n\theta)\).
- Formules d'Euler : \(\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\) — pratiques pour linéariser \(\cos^n\theta\) ou \(\sin^n\theta\).