Nombres complexes 2/4 : Module et argument – Terminale Maths expertes

Un nombre complexe n'est pas qu'une écriture algébrique : on peut aussi le voir comme un point du plan. Cette lecture géométrique, que l'on va détailler dans ce chapitre, est ce qui rend les nombres complexes si utiles pour traiter des problèmes de distances et d'angles. On travaille dans un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$ .

1 Représentation dans le plan complexe

DDéfinitions

Soient $$a$$ et $$b$$ deux réels et $$z=a+ib$$ .

Le point $M(a\,;b)$ est appelé image de $$z$$ ;
le vecteur $\vec w$ de coordonnées $(a\,;b)$ est son image vectorielle.

Dans l'autre sens, $$z=a+ib$$ est appelé affixe du point $M(a\,;b)$ et du vecteur $\vec w(a\,;b)$ . On note $$M(z)$$ et $\vec w(z)$ .

Le point M(5 ; 2) et le vecteur w associé partagent l'affixe z = 5 + 2i.

PPropriétés

Soient $$M(z_M)$$ , $$N(z_N)$$ deux points, $\vec u\,(z)$ , $\vec v\,(z')$ deux vecteurs et $k\in\mathbb R$ .

a) $\overrightarrow{MN}$ a pour affixe $z_N-z_M$.
b) $\vec u+\vec v$ a pour affixe $z+z'$.
c) $k\vec u$ a pour affixe $kz$.
d) Le milieu $I$ de $[MN]$ a pour affixe $z_I=\dfrac{z_M+z_N}{2}$.

Démonstration (a)

Avec $M(x_M\,;y_M)$ et $N(x_N\,;y_N)$, le vecteur $\overrightarrow{MN}$ a pour coordonnées $(x_N-x_M\,;\,y_N-y_M)$, donc pour affixe $(x_N-x_M)+i(y_N-y_M)$, que l'on réarrange en $(x_N+iy_N)-(x_M+iy_M)=z_N-z_M$. On procède de la même façon pour b), c) et d), en repassant chaque fois par les coordonnées.

MMéthode — Utiliser les affixes en géométrie

On donne $$A(-2+3i)$$ , $$B(1+5i)$$ , $$C(6+4i)$$ , $$D(3+2i)$$ et $$E(9+6i)$$ .

a) Montrer que $$ABCD$$ est un parallélogramme et donner l'affixe de son centre.
b) Les points $$D$$ , $$C$$ , $$E$$ sont-ils alignés ?

Correction

a) Comparons les affixes de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$.
$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(1+5i)-(-2+3i)=3+2i$
$z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D=(6+4i)-(3+2i)=3+2i$
Les deux affixes coïncident, donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ : $ABCD$ est un parallélogramme.
Son centre est le milieu de $[AC]$, d'affixe $\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{(-2+3i)+(6+4i)}{2}=\dfrac{4+7i}{2}=2+\dfrac72 i$.

b) Comparons $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{DE}$.
$z_{\overrightarrow{DE}}=z_E-z_D=(9+6i)-(3+2i)=6+4i=2\times(3+2i)=2\,z_{\overrightarrow{DC}}$
Les deux vecteurs sont colinéaires, donc $D$, $C$, $E$ sont alignés.

!Image d'un conjugué

Le point $$M'$$ d'affixe $\bar z$ est toujours le symétrique du point $$M(z)$$ par rapport à l'axe des réels.

2 Module et argument

Module

DDéfinition

Soit $$z=a+ib$$ et $$M$$ son image. Le module de $$z$$ , noté $$|z|$$ , est le réel positif défini par :

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2} = OM\]

PPropriétés du module

a) $|z|^2=z\bar z$ b) $|\bar z|=|z|$ c) $|-z|=|z|$

Pour $$z,z'$$ non nuls et $n\in\mathbb N^*$ :
Produit $|zz'|=|z||z'|$ Puissance $|z^n|=|z|^n$ Inverse $\left|\dfrac1z\right|=\dfrac1{|z|}$ Quotient $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$

Démonstration (module d'un produit)

$|zz'|^2=(zz')\overline{(zz')}=zz'\bar z\bar z'=(z\bar z)(z'\bar z')=|z|^2|z'|^2$. Les modules étant positifs, on obtient $|zz'|=|z||z'|$ en prenant la racine carrée. On en déduit la formule sur $|z^n|$ par récurrence ; celle sur l'inverse s'obtient en écrivant $1=\left|z\times\dfrac1z\right|=|z|\left|\dfrac1z\right|$, et celle sur le quotient en combinant les deux précédentes.

MMéthode — Calculer un module

Calculer : a) $$|8+6i|$$ b) $$|-5i|$$ c) $\left|\dfrac{(1-i)^4}{3+4i}\right|$

Correction

a) $|8+6i|=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$

b) $|-5i|=\sqrt{0^2+5^2}=5$

c) $|1-i|=\sqrt2$ et $|3+4i|=5$, donc $\left|\dfrac{(1-i)^4}{3+4i}\right|=\dfrac{(\sqrt2)^4}{5}=\dfrac{4}{5}$

Argument

DDéfinition

Soit $$M$$ l'image d'un complexe $$z$$ non nul. On appelle argument de $$z$$ , noté $\arg(z)$ , toute mesure en radians de l'angle $(\vec u\,;\overrightarrow{OM})$ .

!Remarques

L'argument n'est pas unique : tous les réels $\arg(z)+2k\pi$ ( $k\in\mathbb Z$ ) conviennent. On écrit $\arg(z)\ [2\pi]$ .
Le complexe nul n'a pas d'argument, puisque l'angle $(\vec u\,;\overrightarrow{OM})$ perd son sens quand $$M=O$$ .

|z| représente la longueur OM ; θ = arg(z) est l'angle orienté entre l'axe des réels et la droite (OM).

EExemple

Soit $$z=-3+3i$$ . On a $\operatorname{Re}(z)=-\operatorname{Im}(z)$ : le point $$M(z)$$ se situe sur la seconde bissectrice.

$|z|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$ $\arg(z)=\dfrac{3\pi}{4}\ [2\pi]$

PPropriétés de l'argument

a) $z$ réel $\Longleftrightarrow \arg(z)=0\ [\pi]$
b) $z$ imaginaire pur $\Longleftrightarrow \arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$
c) $\arg(\bar z)=-\arg(z)\ [2\pi]$
d) $\arg(-z)=\arg(z)+\pi\ [2\pi]$

Pour $$z,z'$$ non nuls et $n\in\mathbb N^*$ :

Produit $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi]$ Puissance $\arg(z^n)=n\arg(z)\ [2\pi]$
Inverse $\arg\!\left(\dfrac1z\right)=-\arg(z)\ [2\pi]$ Quotient $\arg\!\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi]$

3 Forme trigonométrique d'un nombre complexe

PPropriété

Soit $$z=a+ib$$ non nul et $\theta=\arg(z)$ . Alors :

\[a=|z|\cos\theta \qquad\text{et}\qquad b=|z|\sin\theta\]

DDéfinition

La forme trigonométrique d'un complexe $$z$$ non nul est l'écriture :

\[z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad \theta=\arg(z)\]

MMéthode — Passer d'une forme à l'autre

1) Écrire sous forme algébrique : $z_1=5\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)$ et $z_2=3\left(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$

2) Écrire sous forme trigonométrique : $$z_3=-8$$ et $z_4=-\sqrt3+i$

Correction

$z_1=5(0+i\times1)=5i$

$z_2=3\left(-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\dfrac32-\dfrac{3\sqrt3}{2}i$

$|z_3|=8$, et graphiquement (cercle trigonométrique), $\arg(z_3)=\pi\ [2\pi]$.
Donc $z_3=8(\cos\pi+i\sin\pi)$

$|z_4|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt4=2$. Puis $\dfrac{z_4}{|z_4|}=-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac12=\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}$.
Donc $z_4=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)$

4 L'ensemble 𝕌 des complexes de module 1

DDéfinition

On note $\mathbb U$ l'ensemble des complexes de module $$1$$ : $\mathbb U=\{z\in\mathbb C\ /\ |z|=1\}$ . Dans le plan complexe, cet ensemble correspond exactement au cercle trigonométrique.

𝕌 est le cercle trigonométrique : centre O, rayon 1.

MMéthode — 𝕌 est stable par produit et par inverse

Soient $$z$$ et $$z'$$ deux éléments de $\mathbb U$ . Montrer que $$zz'$$ et $\dfrac1z$ restent dans $\mathbb U$ .

Correction

Puisque $z$ et $z'$ sont de module 1 : $|zz'|=|z|\times|z'|=1\times1=1$. Donc $zz'\in\mathbb U$.

De même, $\left|\dfrac1z\right|=\dfrac{1}{|z|}=\dfrac11=1$. Donc $\dfrac1z\in\mathbb U$.

✦ À retenir

Un complexe $z=a+ib$ est repéré par le point $M(a\,;b)$, son image ; $z$ est l'affixe de $M$.
$\overrightarrow{MN}$ a pour affixe $z_N-z_M$ ; le milieu de $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{z_M+z_N}{2}$.
Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=OM$, avec $|z|^2=z\bar z$. Compatible avec $\times$, les puissances, l'inverse, le quotient.
Argument : $\theta=\arg(z)=(\vec u\,;\overrightarrow{OM})\ [2\pi]$, non défini pour $z=0$. $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$, $\arg(z^n)=n\arg z$.
Forme trigonométrique : $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)$.
$\mathbb U=\{z\ /\ |z|=1\}$ est le cercle trigonométrique, stable par produit et par passage à l'inverse.