Ce dernier chapitre met tout le cours au service de la géométrie plane : module et argument donnent accès direct à des longueurs et des angles. On termine avec une famille de nombres complexes très structurée : les racines n-ièmes de l'unité.
1 Applications à la géométrie
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\). Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points deux à deux distincts, d'affixes respectives \(a\), \(b\), \(c\).
a) \(AB=|b-a|\)
b) \((\vec u\,;\overrightarrow{AB})=\arg(b-a)\)
c) \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC})=\arg\!\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)\)
a) \(\overrightarrow{AB}\) a pour affixe \(b-a\) ; le module de l'affixe d'un vecteur étant sa norme, on a \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=|b-a|\).
b) C'est la définition même de l'argument appliquée au vecteur \(\overrightarrow{AB}\), d'affixe \(b-a\).
c) La relation de Chasles sur les angles orientés donne : \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC})=(\vec u\,;\overrightarrow{AC})-(\vec u\,;\overrightarrow{AB})=\arg(c-a)-\arg(b-a)=\arg\!\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)\)
On donne \(A(2-i)\), \(B(6+i)\) et \(C(3i)\).
a) Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\).
b) Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
a) \(AB=|b-a|=|(6+i)-(2-i)|=|4+2i|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\)
\(AC=|c-a|=|3i-(2-i)|=|-2+4i|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\)
Donc \(AB=AC\) : le triangle est isocèle en \(A\).
b) \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC})=\arg\!\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)\), avec :
\(\dfrac{c-a}{b-a}=\dfrac{-2+4i}{4+2i}=\dfrac{(-2+4i)(4-2i)}{(4+2i)(4-2i)}=\dfrac{-8+4i+16i-8i^2}{16+4}=\dfrac{20i}{20}=i\)
Donc \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC})=\arg(i)=\dfrac\pi2\ [2\pi]\) : le triangle \(ABC\) est rectangle (et isocèle) en \(A\).
Soit \(M\) un point d'affixe \(z\). Décrire l'ensemble des points \(M\) tels que :
a) \(|z-2+5i|=3\)
b) \(|iz-6|=4\)
c) \(|\bar z+3-i|=|z+7|\)
d) \(\dfrac{|z-4|}{|z|}=3\ \ (z\neq0)\)
e) \(\arg(z)=-\dfrac\pi4\ [\pi]\)
f) \(\arg(z+2-i)=\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\)
a) Soit \(A\) le point d'affixe \(2-5i\). L'équation s'écrit \(|z-(2-5i)|=3\), soit \(AM=3\).
L'ensemble cherché est le cercle de centre \(A(2-5i)\) et de rayon \(3\).
b) \(|iz-6|=|i(z-6/i)|=|i(z+6i)|=|i|\times|z+6i|=|z+6i|\). Soit \(A\) le point d'affixe \(-6i\) : l'équation devient \(AM=4\).
L'ensemble cherché est le cercle de centre \(A(-6i)\) et de rayon \(4\).
c) \(\overline{\bar z+3-i}=z+3+i=z-(-3-i)\), donc \(|\bar z+3-i|=|z-(-3-i)|\).
Soit \(A\) le point d'affixe \(-3-i\) et \(B\) le point d'affixe \(-7\) : l'équation s'écrit \(AM=BM\).
L'ensemble cherché est la médiatrice du segment \([AB]\).
d) En posant \(z=x+iy\) (avec \(z\neq0\)) : \(|z-4|^2=9|z|^2\)
\((x-4)^2+y^2=9(x^2+y^2) \iff 16-8x=8x^2+8y^2 \iff x^2+x+y^2=2\)
\(\iff \left(x+\dfrac12\right)^2+y^2=\dfrac94\)
L'ensemble cherché est le cercle de centre \(\left(-\dfrac12\,;0\right)\) et de rayon \(\dfrac32\).
e) L'ensemble cherché est la droite passant par \(O\) (privée de \(O\)), faisant un angle de \(-\dfrac\pi4\) avec l'axe des réels.
f) Soit \(A\) le point d'affixe \(-2+i\), alors \(z+2-i=z-A\). L'équation s'écrit \((\vec u\,;\overrightarrow{AM})=\dfrac{2\pi}{3}\ [2\pi]\).
L'ensemble cherché est la demi-droite d'origine \(A(-2+i)\), privée de \(A\), de direction faisant l'angle \(\dfrac{2\pi}{3}\) avec l'axe des réels.
2 Racines n-ièmes de l'unité
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une racine n-ième de l'unité est un nombre complexe \(z\) tel que \(z^n=1\).
L'ensemble \(\mathbb U_n\) des racines n-ièmes de l'unité compte exactement \(n\) éléments :
\[\mathbb U_n=\left\{e^{i\frac{2k\pi}{n}},\ k\in\{0,1,\dots,n-1\}\right\}\]
Existence : si \(z^n=1\), alors \(|z|^n=|z^n|=1\), d'où \(|z|=1\). On écrit donc \(z=e^{i\theta}\) avec \(\theta\in[0;2\pi[\). L'équation devient \(e^{in\theta}=1\), soit \(n\theta=2k\pi\) pour un certain \(k\in\mathbb Z\), c'est-à-dire \(\theta=\dfrac{2k\pi}{n}\). Quitte à ajuster \(k\) d'un multiple de \(n\), on peut le choisir dans \([0\,;n-1]\).
Unicité : si \(k\) et \(k'\) dans \([0\,;n-1]\) donnent la même racine, alors \(n\) divise \(k-k'\). Or \(k-k'\) est strictement compris entre \(-n\) et \(n\), ce qui force \(k=k'\). Les \(n\) valeurs de \(k\) fournissent donc \(n\) racines toutes distinctes.
Résoudre dans \(\mathbb C\) : a) \((z-3)^3=1\) b) \(z^4=-1\)
a) \(z-3\) est une racine 3-ième de l'unité : \(z-3=e^{i2k\pi/3}\), \(k\in\{0,1,2\}\).
\(k=0\ :\ z=3+1=4\)
\(k=1\ :\ z=3+e^{i2\pi/3}=3+\left(-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\dfrac52+i\dfrac{\sqrt3}{2}\)
\(k=2\ :\ z=3+e^{i4\pi/3}=3+\left(-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\dfrac52-i\dfrac{\sqrt3}{2}\)
\(S=\left\{4\,;\,\dfrac52+i\dfrac{\sqrt3}{2}\,;\,\dfrac52-i\dfrac{\sqrt3}{2}\right\}\)
b) On cherche \(z\) sous forme exponentielle, \(z=e^{i\theta}\) (nécessairement \(|z|=1\)). L'équation \(z^4=-1=e^{i\pi}\) devient :
\(e^{i4\theta}=e^{i\pi} \iff 4\theta=\pi+2k\pi \iff \theta=\dfrac\pi4+k\dfrac\pi2,\ k\in\mathbb Z\)
En prenant \(k\in\{0,1,2,3\}\) :
\(S=\left\{e^{i\pi/4}\,;\,e^{i3\pi/4}\,;\,e^{i5\pi/4}\,;\,e^{i7\pi/4}\right\}\)
Représentation géométrique
Toutes les racines n-ièmes de l'unité ont pour module \(1\) : leurs images sont donc réparties sur le cercle trigonométrique, à intervalles réguliers de \(\dfrac{2\pi}{n}\). Elles dessinent les sommets d'un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans ce cercle.
Démontrer que le périmètre d'un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon \(1\) vaut \(8\sqrt{2-\sqrt2}\).
Les images des racines 8-ièmes de l'unité \(w_k=e^{i2k\pi/8}\) forment un octogone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. On calcule la longueur d'un côté, par exemple \(|w_1-w_0|\) :
\(|w_1-w_0|=\left|e^{i\pi/4}-1\right|=\left|e^{i\pi/8}\right|\times\left|e^{i\pi/8}-e^{-i\pi/8}\right|=\left|2i\sin\dfrac\pi8\right|=2\sin\dfrac\pi8\)
Comme \(\sin\dfrac\pi8=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}\) (formule de duplication, chapitre 3), chaque côté mesure \(\sqrt{2-\sqrt2}\).
L'octogone ayant 8 côtés, son périmètre vaut \(8\sqrt{2-\sqrt2}\) (soit environ \(6{,}12\)).
Le même raisonnement montre que le polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle trigonométrique a pour périmètre \(2n\sin\dfrac{\pi}{n}\). Pour \(n=8\), on retrouve \(16\sin\dfrac\pi8=8\sqrt{2-\sqrt2}\).
- \(AB=|b-a|\) ; \((\vec u\,;\overrightarrow{AB})=\arg(b-a)\) ; \((\overrightarrow{AB}\,;\overrightarrow{AC})=\arg\!\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)\).
- Cercle : \(|z-a|=r\) (centre \(A(a)\), rayon \(r\)). Médiatrice : \(|z-a|=|z-b|\) (équidistance de \(A\) et \(B\)).
- Droite ou demi-droite : condition sur \(\arg(z-a)\).
- Les racines n-ièmes de l'unité sont les \(n\) solutions de \(z^n=1\) : \(\mathbb U_n=\left\{e^{i2k\pi/n},\ 0\le k\le n-1\right\}\).
- Leurs images forment un polygone régulier à \(n\) côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.