Dans tout le chapitre, $f$ est une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère. Les définitions sont analogues à celles des limites de suites : « dès que $x$ est assez grand » remplace « à partir d'un certain rang ».
1Limite d'une fonction en l'infini
1.1 — Limite finie en l'infini
On dit que $f$ admet pour limite $L$ en $+\infty$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand. On note : $$\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$$
• Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$, la droite d'équation $y=L$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
• Si $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=L$, la droite d'équation $y=L$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$.
La fonction définie sur $\mathbb{R}^\ast$ par $f(x)=2+\dfrac{1}{x}$ a pour limite $2$ en $+\infty$ : l'écart $f(x)-2=\dfrac{1}{x}$ tend vers $0$. Quel que soit l'intervalle ouvert contenant $2$ (bande verte), toutes les valeurs de $f(x)$ y entrent dès que $x$ est assez grand.
La droite $y=2$ est donc asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (et aussi en $-\infty$).
1.2 — Limite infinie en l'infini
• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ ($A$ réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand.
• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$ si tout intervalle $]-\infty\,;B[$ ($B$ réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand.
On définit de même les limites infinies en $-\infty$.
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2=+\infty$ : quel que soit le réel $A$ choisi, $x^2>A$ dès que $x$ est assez grand.
• Une fonction qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ n'est pas forcément croissante (elle peut osciller tout en « montant »).
• Une fonction peut n'avoir aucune limite en l'infini : c'est le cas de $\sin x$ et $\cos x$, qui oscillent indéfiniment entre $-1$ et $1$.
1.3 — Limites des fonctions de référence
| Fonction | en $-\infty$ | en $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x^2$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $x^3$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $x^n$, $n$ pair | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $x^n$, $n$ impair | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\sqrt{x}$ | — | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{x^n}$ ($n\geqslant 1$) | $0$ | $0$ |
| $e^x$ | $0$ | $+\infty$ |
2Limite d'une fonction en un réel
2.1 — Limite infinie en un réel $a$
Soit $a$ un réel et $f$ définie au voisinage de $a$ (mais pas forcément en $a$).
• $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ si tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$.
• $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$ si tout intervalle $]-\infty\,;B[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$.
Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ ou $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$ (éventuellement seulement à gauche ou à droite), la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
2.2 — Limite à gauche, limite à droite
• La limite à gauche en $a$ est la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures ($x<a$). On la note $\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)$ ou $\displaystyle\lim_{\substack{x\to a\\x<a}} f(x)$.
• La limite à droite en $a$ est la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures ($x>a$). On la note $\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)$ ou $\displaystyle\lim_{\substack{x\to a\\x>a}} f(x)$.
• $f$ admet une limite en $a$ lorsque les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
Si $x>0$ : pour tout $A>0$, $\dfrac{1}{x}>A \iff 0<x<\dfrac{1}{A}$. Donc $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x\in\left]0\,;\frac{1}{A}\right[$ : $$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$$
Si $x<0$ : de même, $$\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$$
La droite $x=0$ (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à la courbe.
La fonction inverse n'a pas de limite en $0$, car $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}\neq\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}$.
3Opérations sur les limites
$L$ et $L'$ sont des réels ; $\alpha$ désigne un réel, $+\infty$ ou $-\infty$. « F.I. » signifie forme indéterminée : on ne peut pas conclure directement, il faut transformer l'écriture.
3.1 — Limite d'une somme
| $\lim f$ | $L$ | $L$ | $L$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\lim g$ | $L'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim (f+g)$ | $L+L'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | F.I. |
3.2 — Limite d'un produit
| $\lim f$ | $L$ | $L\neq 0$ | $\infty$ | $0$ |
| $\lim g$ | $L'$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ |
| $\lim (f\times g)$ | $L\times L'$ | $\infty$ | $\infty$ | F.I. |
3.3 — Limite d'un quotient
| $\lim f$ | $L$ | $L\neq 0$ | $L$ | $\infty$ | $\infty$ | $0$ |
| $\lim g$ | $L'\neq 0$ | $0$ | $\infty$ | $L'$ | $\infty$ | $0$ |
| $\lim \dfrac{f}{g}$ | $\dfrac{L}{L'}$ | $\infty$ | $0$ | $\infty$ | F.I. | F.I. |
$$\text{« }\infty-\infty\text{ »}\qquad \text{« }0\times\infty\text{ »}\qquad \text{« }\dfrac{\infty}{\infty}\text{ »}\qquad \text{« }\dfrac{0}{0}\text{ »}$$
$f(x)=5x^2+3x-2$. En $+\infty$ : $\displaystyle\lim 5x^2=+\infty$, $\displaystyle\lim 3x=+\infty$, $\displaystyle\lim(-2)=-2$.
Par somme, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x-5)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(3+x^2)=+\infty$.
Par produit (règle des signes) : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x-5)(3+x^2)=-\infty$.
Étudions $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{1-2x}{x-3}$.
Numérateur : $\displaystyle\lim_{x\to 3}(1-2x)=-5$.
Dénominateur : $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}(x-3)=0^-$ et $\displaystyle\lim_{x\to 3^+}(x-3)=0^+$.
Par quotient (règle des signes) : $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}\frac{1-2x}{x-3}=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to 3^+}\frac{1-2x}{x-3}=-\infty$.
La droite $x=3$ est asymptote verticale à la courbe.
- On calcule séparément la limite de chaque « morceau », puis on applique les règles.
- Quatre F.I. : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$.
- « $\dfrac{L}{0}$ » avec $L\neq 0$ n'est pas une F.I. : le résultat est infini, son signe dépend de $0^+$ / $0^-$.
4Lever une forme indéterminée
4.1 — Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini
En $\pm\infty$, on factorise par le terme de plus haut degré (au numérateur et au dénominateur), puis on utilise $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{k}{x^n}=0$.
$\lim(-3x^3)=-\infty$ et $\lim 2x^2=+\infty$ : forme indéterminée « $\infty-\infty$ ».
On factorise par $x^3$ : $\ -3x^3+2x^2-6x+1=x^3\left(-3+\dfrac{2}{x}-\dfrac{6}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}\right)$.
Or $\dfrac{2}{x}$, $\dfrac{6}{x^2}$ et $\dfrac{1}{x^3}$ tendent vers $0$, donc la parenthèse tend vers $-3$ (somme).
Comme $\lim x^3=+\infty$, par produit : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(-3x^3+2x^2-6x+1\right)=-\infty}$.
Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ».
$\dfrac{2x^2-5x+1}{6x^2-5}=\dfrac{x^2\left(2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(6-\frac{5}{x^2}\right)}=\dfrac{2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}{6-\frac{5}{x^2}}$.
Le numérateur tend vers $2$, le dénominateur vers $6$ ; par quotient : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-5x+1}{6x^2-5}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$.
Forme « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». On factorise : $\dfrac{3x^2+2}{4x-1}=\dfrac{x^2\left(3+\frac{2}{x^2}\right)}{x\left(4-\frac{1}{x}\right)}=x\times\dfrac{3+\frac{2}{x^2}}{4-\frac{1}{x}}$.
La fraction tend vers $\dfrac{3}{4}$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x=-\infty$.
Par produit : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2+2}{4x-1}=-\infty}$.
4.2 — Fonctions avec des radicaux : l'expression conjuguée
Face à une F.I. contenant $\sqrt{A}-B$, on multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{A}+B$, puis on utilise $(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^2$.
$\lim\sqrt{x+1}=+\infty$ et $\lim\sqrt{x}=+\infty$ : forme « $\infty-\infty$ ».
$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$.
Par somme, $\lim\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)=+\infty$ ; par quotient : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)=0}$.
$\sqrt{5-1}-2=0$ et $5-5=0$ : forme « $\dfrac{0}{0}$ ».
$\dfrac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}=\dfrac{\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(\sqrt{x-1}+2\right)}{(x-5)\left(\sqrt{x-1}+2\right)}=\dfrac{x-1-4}{(x-5)\left(\sqrt{x-1}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2}$ (pour $x\neq 5$).
Or $\displaystyle\lim_{x\to 5}\left(\sqrt{x-1}+2\right)=4$, donc $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}=\frac{1}{4}}$.
Attention : la fonction n'est pas définie en $5$, même si la calculatrice semble tracer le point $(5\,;0{,}25)$.
4.3 — Application : déterminer les asymptotes d'une courbe
En l'infini. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(1-x)=-\infty$, donc par quotient $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. De même $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$.
⇒ La droite $y=0$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
En 1. $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}(1-x)=0^+$ et $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}(1-x)=0^-$. Le numérateur vaut $-2<0$, donc par quotient : $$\lim_{x\to 1^-}f(x)=-\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to 1^+}f(x)=+\infty$$
⇒ La droite $x=1$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
- Polynôme / rationnelle en $\pm\infty$ : factoriser par le terme de plus haut degré.
- Racines carrées : multiplier par l'expression conjuguée.
- « $\frac{0}{0}$ » en un réel $a$ : factoriser par $(x-a)$ puis simplifier.
- Asymptote horizontale : limite finie en $\pm\infty$. Asymptote verticale : limite infinie en un réel.
5Limite d'une fonction composée
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$, telles que pour tout $x\in I$, $u(x)\in J$.
La fonction composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction $h$ définie sur $I$ par $h(x)=v\big(u(x)\big)$. On note $h=v\circ u$ (« $v$ rond $u$ »). $$x\ \xrightarrow{\ u\ }\ u(x)\ \xrightarrow{\ v\ }\ v\big(u(x)\big)$$
$h(x)=\sqrt{1-x}$ sur $]-\infty\,;1]$ : on calcule d'abord $1-x$, puis la racine carrée de ce réel. Avec $u(x)=1-x$ et $v(X)=\sqrt{X}$, on a $h=v\circ u$.
Soit $a$, $b$, $c$ des réels ou $\pm\infty$. $$\text{Si }\ \lim_{x\to a}u(x)=b\ \text{ et }\ \lim_{X\to b}v(X)=c\ \text{ alors }\ \lim_{x\to a}v\big(u(x)\big)=c.$$
1) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sqrt{1-x}$ : on a $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(1-x)=+\infty$. En posant $X=1-x$, $\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\sqrt{X}=+\infty$.
Par composition : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sqrt{1-x}=+\infty}$.
2) $f(x)=\sqrt{2-\dfrac{1}{x}}$ sur $\left]\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$. On a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)=2$.
En posant $X=2-\dfrac{1}{x}$, $\displaystyle\lim_{X\to 2}\sqrt{X}=\sqrt{2}$. Par composition : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\sqrt{2}}$.
6Théorèmes de comparaison et d'encadrement
6.1 — Théorème de comparaison
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $]A\,;+\infty[$.
• Si pour tout $x>A$, $f(x)\geqslant g(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
• Si pour tout $x>A$, $f(x)\leqslant g(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
Ce théorème s'adapte en $-\infty$ et en un réel $a$.
Soit $M$ un réel. Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, l'intervalle $]M\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs $g(x)$ dès que $x$ est assez grand : $g(x)>M$.
Or $f(x)\geqslant g(x)$, donc $f(x)>M$ dès que $x$ est assez grand.
C'est vrai pour tout réel $M$, donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
6.2 — Théorème d'encadrement (« des gendarmes »)
Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $]A\,;+\infty[$ et $\ell$ un réel.
Si pour tout $x>A$, $\ g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\ $ et si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=\ell$, alors $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell.$$
On obtient un théorème analogue en $-\infty$ et en un réel $a$. On l'appelle aussi théorème du sandwich.
Soit $J$ un intervalle ouvert contenant $\ell$. Il contient toutes les valeurs $g(x)$ dès que $x>a$, et toutes les valeurs $h(x)$ dès que $x>b$.
Notons $c$ le plus grand des deux nombres $a$ et $b$ : pour $x>c$, $g(x)$ et $h(x)$ sont dans $J$.
Comme $g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$, $f(x)$ est aussi dans $J$ dès que $x>c$. Ceci étant vrai pour tout intervalle ouvert contenant $\ell$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$.
$\sin x$ n'a pas de limite en $+\infty$ : on ne peut pas utiliser les opérations.
Pour tout $x$, $\sin x\geqslant -1$, donc $x+\sin x\geqslant x-1$.
Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty$ ; par comparaison : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+\sin x)=+\infty}$.
Pour tout $x$, $-1\leqslant\cos x\leqslant 1$. Pour $x>0$ : $-x\leqslant x\cos x\leqslant x$, puis en divisant par $x^2+1>0$ : $$-\frac{x}{x^2+1}\leqslant\frac{x\cos x}{x^2+1}\leqslant\frac{x}{x^2+1}.$$
Comme $x^2+1>x^2$, on a $\dfrac{x}{x^2+1}\leqslant\dfrac{x}{x^2}=\dfrac{1}{x}$, d'où : $\ -\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{x\cos x}{x^2+1}\leqslant\dfrac{1}{x}$.
Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0$ ; d'après le théorème des gendarmes : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x\cos x}{x^2+1}=0}$.
- Dès qu'apparaissent $\sin x$, $\cos x$ ou $(-1)^n$, penser à encadrer avec $-1\leqslant\sin x\leqslant 1$.
- Pour une limite infinie : une seule inégalité suffit (comparaison).
- Pour une limite finie : il faut un encadrement par deux fonctions de même limite (gendarmes).
7Fonction exponentielle et croissances comparées
7.1 — Limites aux bornes
$$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\qquad\qquad\lim_{x\to-\infty}e^x=0$$
En $+\infty$. La suite $(e^n)$ est géométrique de raison $e>1$, donc $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}e^n=+\infty$. Pour tout réel $A$, il existe un rang $n_1$ tel que $e^{n_1}>A$.
La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour tout $x>n_1$ : $e^x>e^{n_1}>A$. Ainsi tout intervalle $]A\,;+\infty[$ contient toutes les valeurs de $e^x$ dès que $x$ est assez grand : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.
En $-\infty$. En posant $X=-x$ : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{e^{-x}}=\lim_{X\to+\infty}\frac{1}{e^X}=0$ par quotient.
a) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x+e^{-3x}\right)$ : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-3x)=-\infty$ et, en posant $X=-3x$, $\displaystyle\lim_{X\to-\infty}e^X=0$. Par composition, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-3x}=0$.
Comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$, par somme : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x+e^{-3x}\right)=+\infty}$.
b) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{1-\frac{1}{x}}$ : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$ donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)=1$.
Par composition : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{1-\frac{1}{x}}=e^1=e}$.
7.2 — Croissances comparées
Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$ :
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\qquad\lim_{x\to-\infty}x\,e^x=0\qquad\lim_{x\to-\infty}x^n e^x=0$$
Autrement dit, en l'infini, l'exponentielle « l'emporte » sur toute puissance de $x$ : sa croissance est plus rapide.
On pose $f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}$ sur $[0\,;+\infty[$. Alors $f'(x)=e^x-x$ et $f''(x)=e^x-1$.
Pour $x>0$, $f''(x)=e^x-1>0$ : $f'$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. Comme $f'(0)=1$, on a $f'(x)>0$ pour $x>0$.
Donc $f$ est strictement croissante ; comme $f(0)=1$, on a $f(x)>0$, soit $e^x>\dfrac{x^2}{2}$ pour tout $x>0$.
En divisant par $x>0$ : $\dfrac{e^x}{x}>\dfrac{x}{2}$. Or $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty$ ; par comparaison, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$.
Cas général. Pour $x>0$ : $\dfrac{e^x}{x^n}=\dfrac{\left(e^{\frac{x}{n}}\right)^n}{x^n}=\left(\dfrac{1}{n}\times\dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)^n$. En posant $X=\dfrac{x}{n}\to+\infty$, $\dfrac{e^X}{X}\to+\infty$ ; donc la parenthèse tend vers $+\infty$, et sa puissance $n$-ième aussi.
Calculons $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+x}{e^x-x^2}$. Le dénominateur présente une F.I. « $\infty-\infty$ ».
On factorise par $e^x$ : $\ \dfrac{e^x+x}{e^x-x^2}=\dfrac{e^x\left(1+\frac{x}{e^x}\right)}{e^x\left(1-\frac{x^2}{e^x}\right)}=\dfrac{1+\frac{x}{e^x}}{1-\frac{x^2}{e^x}}$.
Par croissances comparées, $\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$ et $\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty$, donc par inverse $\dfrac{x}{e^x}\to 0$ et $\dfrac{x^2}{e^x}\to 0$.
Par quotient : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+x}{e^x-x^2}=\frac{1}{1}=1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ : la droite $y=0$ est asymptote à la courbe de $\exp$ en $-\infty$.
- Pour $e^{u(x)}$ : calculer d'abord la limite de $u(x)$, puis conclure par composition.
- Croissances comparées : $\dfrac{e^x}{x^n}\to+\infty$ en $+\infty$ et $x^n e^x\to 0$ en $-\infty$.
- Face à une F.I. avec $e^x$ et des puissances : factoriser par $e^x$ (le terme dominant).