Un son est une onde mécanique progressive : il transporte de l'énergie, mais il a besoin d'un milieu matériel pour se propager (il ne se propage pas dans le vide). Ce chapitre répond à deux questions : comment mesure-t-on l'intensité d'un son, et comment sa fréquence perçue change-t-elle quand la source se déplace ?
1 Puissance et intensité sonore
Une source sonore convertit de l'énergie en énergie sonore. La puissance sonore $P$ est l'énergie émise chaque seconde ; elle s'exprime en watts (W). Cette énergie se répartit sur une surface de plus en plus grande à mesure qu'on s'éloigne : c'est l'intensité qui traduit ce que l'on reçoit réellement.
L'intensité sonore $I$ en un point est la puissance sonore reçue par unité de surface :
$$I = \dfrac{P}{S}$$avec $I$ en $\mathrm{W\cdot m^{-2}}$, $P$ en watts (W) et $S$ en $\mathrm{m^{2}}$.
Pour une source ponctuelle et isotrope (elle émet de la même façon dans toutes les directions), l'énergie se répartit à la distance $d$ sur une sphère de surface $S = 4\pi d^{2}$ :
L'intensité est inversement proportionnelle au carré de la distance : si la distance double, l'intensité est divisée par 4.
L'oreille humaine ne perçoit un son qu'à partir d'une intensité de référence, appelée seuil d'audibilité :
$$I_0 = 1{,}0\times 10^{-12}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$$Le seuil de douleur se situe vers $1\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$, soit mille milliards de fois plus. C'est cet écart gigantesque qui impose une échelle logarithmique.
Une enceinte assimilée à une source ponctuelle émet une puissance sonore $P = 0{,}50\ \mathrm{W}$. Quelle est l'intensité sonore à $d = 5{,}0\ \mathrm{m}$ ?
1. Surface de la sphère : $S = 4\pi d^{2} = 4\pi \times (5{,}0)^{2} = 3{,}14\times 10^{2}\ \mathrm{m^{2}}$.
2. Intensité : $I = \dfrac{P}{S} = \dfrac{0{,}50}{3{,}14\times 10^{2}} = 1{,}6\times 10^{-3}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.
2 Le niveau d'intensité sonore
L'oreille ne réagit pas proportionnellement à l'intensité : multiplier l'intensité par 10 ne donne pas du tout l'impression d'un son « 10 fois plus fort ». On définit donc une grandeur logarithmique, le niveau d'intensité sonore, exprimé en décibels (dB).
avec $L$ en décibels (dB), $I$ en $\mathrm{W\cdot m^{-2}}$ et $I_0 = 1{,}0\times 10^{-12}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.
Ici $\log$ désigne le logarithme décimal (base 10), pas le logarithme népérien.
La relation se renverse en appliquant la fonction réciproque du logarithme décimal :
$$\dfrac{I}{I_0} = 10^{\frac{L}{10}} \quad\Longleftrightarrow\quad I = I_0 \times 10^{\frac{L}{10}}$$Exemple : pour $L = 85\ \mathrm{dB}$, $I = 10^{-12}\times 10^{8{,}5} = 3{,}2\times 10^{-4}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.
Quelques repères à connaître :
| Situation | Intensité $I$ (W·m⁻²) | Niveau $L$ (dB) |
|---|---|---|
| Seuil d'audibilité | $1{,}0\times 10^{-12}$ | 0 |
| Chuchotement | $1{,}0\times 10^{-10}$ | 20 |
| Conversation normale | $1{,}0\times 10^{-6}$ | 60 |
| Rue passante | $1{,}0\times 10^{-5}$ | 70 |
| Concert, marteau-piqueur | $1{,}0\times 10^{-2}$ | 100 |
| Seuil de douleur | $1{,}0$ | 120 |
Une exposition prolongée au-delà de 85 dB détériore l'audition de façon irréversible : les cellules ciliées de l'oreille interne ne se régénèrent pas. Plus le niveau est élevé, plus la durée d'exposition sans danger est courte.
3 Manipuler les décibels
Comme $L$ est un logarithme, multiplier l'intensité revient à ajouter des décibels. Trois règles suffisent pour la plupart des exercices.
$\bullet$ Intensité doublée ($I \to 2I$) : $\Delta L = 10\log 2 \approx +3\ \mathrm{dB}$.
$\bullet$ Intensité multipliée par 10 : $\Delta L = 10\log 10 = +10\ \mathrm{dB}$ (le son paraît environ deux fois plus fort).
$\bullet$ Intensité divisée par 2 : $\Delta L \approx -3\ \mathrm{dB}$.
Les intensités s'additionnent, jamais les niveaux. Pour $N$ sources identiques de niveau $L_1$ chacune :
$$L_{\text{total}} = L_1 + 10\,\log N$$Deux machines de 60 dB côte à côte ne font pas 120 dB, mais :
$$L = 60 + 10\log 2 = 63\ \mathrm{dB}$$Pour gagner 10 dB, il faudrait dix machines. Pour un calcul général (sources différentes), on repasse par les intensités : on convertit chaque $L_i$ en $I_i$, on additionne, puis on reconvertit.
Une source A de 70 dB et une source B de 76 dB fonctionnent ensemble. Quel est le niveau total ?
1. $I_A = 10^{-12}\times 10^{7{,}0} = 1{,}0\times 10^{-5}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$ et $I_B = 10^{-12}\times 10^{7{,}6} = 4{,}0\times 10^{-5}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.
2. $I_{\text{tot}} = I_A + I_B = 5{,}0\times 10^{-5}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.
3. $L = 10\log\!\left(\dfrac{5{,}0\times 10^{-5}}{10^{-12}}\right) = 10\log(5{,}0\times 10^{7}) = 77\ \mathrm{dB}$.
La source la plus faible n'ajoute qu'un décibel : en acoustique, c'est toujours la source dominante qui impose le niveau.
4 L'atténuation géométrique
Quand on s'éloigne d'une source, aucune énergie n'est perdue : elle se répartit simplement sur une surface plus grande. C'est l'atténuation géométrique (ou par dispersion).
L'atténuation $A$ entre deux points est la diminution du niveau d'intensité sonore, exprimée en dB :
$$A = L_1 - L_2 = 10\,\log\!\left(\dfrac{I_1}{I_2}\right)$$Comme $I \propto \dfrac{1}{d^{2}}$, en passant de la distance $d_1$ à la distance $d_2$ :
$$A = 20\,\log\!\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)$$En particulier, doubler la distance atténue de 6 dB ($20\log 2 \approx 6$), et la multiplier par 10 atténue de 20 dB.
Reprenons l'enceinte du paragraphe 1 : à $5{,}0\ \mathrm{m}$, $I = 1{,}6\times 10^{-3}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$, soit
$$L_1 = 10\log\!\left(\dfrac{1{,}6\times 10^{-3}}{10^{-12}}\right) = 92\ \mathrm{dB}$$À $20\ \mathrm{m}$, la distance est multipliée par 4 :
$$A = 20\log 4 = 12\ \mathrm{dB} \quad\Longrightarrow\quad L_2 = 92 - 12 = 80\ \mathrm{dB}$$5 L'atténuation par absorption
Lorsque le son traverse un matériau (mur, cloison, double vitrage, bouchon d'oreille), une partie de son énergie est absorbée et convertie en énergie thermique : c'est l'atténuation par absorption. Elle se calcule avec la même formule, et se lit le plus souvent directement sur la fiche technique du matériau.
Exprimées en décibels, les atténuations successives s'ajoutent :
$$A_{\text{totale}} = A_{\text{géométrique}} + A_{\text{absorption}}$$C'est tout l'intérêt de l'échelle logarithmique : on additionne au lieu de multiplier des rapports d'intensité.
L'enceinte précédente produit 92 dB à 5,0 m. Un voisin se trouve à 20 m, derrière une cloison qui atténue de 25 dB. Quel niveau perçoit-il ?
1. Atténuation géométrique : $A_{\text{géo}} = 20\log\!\left(\dfrac{20}{5{,}0}\right) = 12\ \mathrm{dB}$.
2. Atténuation totale : $A = 12 + 25 = 37\ \mathrm{dB}$.
3. Niveau perçu : $L = 92 - 37 = 55\ \mathrm{dB}$, soit le niveau d'une conversation.
6 L'effet Doppler
Quand une ambulance passe devant vous, le son de sa sirène semble plus aigu à l'approche puis plus grave après le passage. Pourtant, la sirène émet toujours la même fréquence : c'est la fréquence perçue qui change. Ce phénomène s'appelle l'effet Doppler.
L'effet Doppler est la variation de la fréquence perçue par un récepteur lorsqu'il existe un mouvement relatif entre la source et le récepteur.
L'explication est géométrique : en avançant, la source « rattrape » les ondes qu'elle vient d'émettre. Les fronts d'onde se resserrent devant elle (longueur d'onde plus courte, donc fréquence plus élevée) et s'espacent derrière elle.
Soit $f_E$ la fréquence émise, $v$ la célérité de l'onde et $v_S$ la vitesse de la source ($v_S < v$). La fréquence $f_R$ perçue par le récepteur vaut :
$\bullet$ la source se rapproche : $\;f_R = f_E \times \dfrac{v}{v - v_S} \;>\; f_E$ (son plus aigu) ;
$\bullet$ la source s'éloigne : $\;f_R = f_E \times \dfrac{v}{v + v_S} \;<\; f_E$ (son plus grave).
Le décalage Doppler est la différence $\Delta f = \left| f_R - f_E \right|$.
Plaçons-nous dans le cas d'une source qui se rapproche en ligne droite d'un récepteur fixe, et suivons deux fronts d'onde successifs (le schéma ci-dessus illustre exactement ce raisonnement).
- La source émet un front d'onde à chaque période $T_E = \dfrac{1}{f_E}$.
- Le front n°1 est émis à l'instant $t = 0$. Il se propage dans le milieu à la célérité $v$ : à l'instant $T_E$, il a parcouru la distance $v\,T_E$.
- À ce même instant $T_E$, la source émet le front n°2. Mais entre-temps elle a avancé de $v_S\,T_E$ dans la direction du récepteur.
- La distance qui sépare ces deux fronts, c'est-à-dire la longueur d'onde $\lambda'$ réellement perçue devant la source, est donc raccourcie de $v_S T_E$ : $$\lambda' = v\,T_E - v_S\,T_E = (v - v_S)\,T_E$$
- Ces deux fronts se propagent toujours à la célérité $v$ : elle ne dépend que du milieu, jamais du mouvement de la source. Le récepteur fixe les reçoit donc séparés par la durée $$T_R = \dfrac{\lambda'}{v} = \dfrac{(v - v_S)\,T_E}{v}$$
- En repassant aux fréquences avec $f = \dfrac{1}{T}$ : $$f_R = \dfrac{1}{T_R} = \dfrac{v}{(v - v_S)\,T_E} = f_E \times \dfrac{v}{v - v_S}$$
Si la source s'éloigne, elle recule pendant la période au lieu d'avancer : la longueur d'onde est cette fois allongée, $\lambda' = (v + v_S)\,T_E$, et le même calcul donne $f_R = f_E \times \dfrac{v}{v + v_S}$.
Les deux cas se résument donc en une seule écriture, le signe $-$ correspondant à un rapprochement :
$$f_R = f_E \times \dfrac{v}{v \mp v_S} \qquad (v_S < v)$$Ce qu'il faut comprendre : le mouvement de la source ne modifie ni la fréquence qu'elle émet, ni la célérité de l'onde dans le milieu. Il modifie uniquement la longueur d'onde — c'est-à-dire l'espacement entre les fronts — et c'est ce qui change la fréquence reçue.
On en déduit aussi le décalage relatif, souvent demandé : $\;\dfrac{\Delta f}{f_E} = \dfrac{v_S}{v - v_S}$ à l'approche.
Une ambulance roule à $v_S = 30\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et sa sirène émet $f_E = 700\ \mathrm{Hz}$. Célérité du son : $v = 340\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.
À l'approche : $f_R = 700 \times \dfrac{340}{340 - 30} = 700 \times \dfrac{340}{310} = 768\ \mathrm{Hz}$.
Après le passage : $f_R = 700 \times \dfrac{340}{340 + 30} = 700 \times \dfrac{340}{370} = 643\ \mathrm{Hz}$.
L'écart perçu au moment du passage atteint $768 - 643 = 125\ \mathrm{Hz}$ : c'est la « cassure » très nette que l'on entend.
Si l'on mesure la fréquence à l'approche $f_a$ et après le passage $f_e$, on élimine $f_E$ en combinant les deux relations :
$$v_S = v \times \dfrac{f_a - f_e}{f_a + f_e}$$Avec l'exemple précédent : $v_S = 340 \times \dfrac{768 - 643}{768 + 643} = 340 \times \dfrac{125}{1411} = 30\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. On retrouve bien la vitesse de l'ambulance.
$\bullet$ La fréquence émise par la source ne change jamais. Seule la fréquence perçue est modifiée.
$\bullet$ L'effet est maximal quand la source se dirige droit vers le récepteur. À l'instant précis où l'ambulance passe à votre hauteur, son mouvement est perpendiculaire à la direction d'observation : on perçoit alors exactement $f_E$.
7 Applications de l'effet Doppler
Mesure de vitesse par écho (radar, échographie)
Un radar routier ou une sonde d'échographie émet une onde, qui se réfléchit sur une cible mobile puis revient. Le décalage se produit deux fois (à la réception par la cible, puis à la réémission), d'où un facteur 2. Pour une vitesse $v_{\text{cible}}$ petite devant la célérité $c$ de l'onde :
$$\Delta f = \dfrac{2\,f_E\,v_{\text{cible}}}{c}$$Un radar émet à $f_E = 24{,}0\ \mathrm{GHz}$ (onde électromagnétique, $c = 3{,}00\times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$). Une voiture roule à $30\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ (108 km/h) :
$$\Delta f = \dfrac{2 \times 24{,}0\times 10^{9} \times 30}{3{,}00\times 10^{8}} = 4{,}8\times 10^{3}\ \mathrm{Hz}$$Le radar mesure ce décalage de 4,8 kHz et en déduit la vitesse.
En médecine, l'échographie Doppler applique exactement le même principe aux ultrasons réfléchis par les globules rouges : elle mesure la vitesse du sang et détecte ainsi un rétrécissement d'artère.
Astrophysique : le décalage vers le rouge
L'effet Doppler s'applique aussi à la lumière. Pour une source dont la vitesse d'éloignement $v$ est petite devant $c$ :
$$\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \dfrac{v}{c}$$Si la source s'éloigne, les longueurs d'onde augmentent : les raies du spectre se déplacent vers le rouge, c'est le décalage vers le rouge (redshift). C'est en constatant que les galaxies lointaines sont presque toutes décalées vers le rouge que Hubble a conclu, en 1929, à l'expansion de l'Univers.
Une raie de l'hydrogène, de longueur d'onde $\lambda_0 = 656{,}3\ \mathrm{nm}$ au laboratoire, est reçue à $658{,}3\ \mathrm{nm}$ : $\Delta\lambda = 2{,}0\ \mathrm{nm}$.
$$v = c \times \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = 3{,}00\times 10^{8} \times \dfrac{2{,}0}{656{,}3} = 9{,}1\times 10^{5}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$$La galaxie s'éloigne à environ 910 km·s⁻¹.
8 Erreurs classiques
$\bullet$ Additionner directement des décibels : $60 + 60 \neq 120$ (mais 63 dB).
$\bullet$ Utiliser $\ln$ à la place de $\log$ dans la formule du niveau sonore.
$\bullet$ Oublier $I_0$, ou se tromper de puissance de 10 : $I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.
$\bullet$ Confondre $10\log$ (pour les intensités) et $20\log$ (pour un rapport de distances).
$\bullet$ Croire que la source émet un son plus aigu quand elle s'approche : c'est la perception qui change, pas l'émission.
$\bullet$ Utiliser la célérité du son dans une formule Doppler concernant la lumière (et inversement).
- Intensité sonore : $I = \dfrac{P}{S}$, et $I = \dfrac{P}{4\pi d^{2}}$ pour une source ponctuelle isotrope.
- Niveau d'intensité sonore : $L = 10\log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ avec $I_0 = 1{,}0\times 10^{-12}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$, et réciproquement $I = I_0\times 10^{L/10}$.
- Les intensités s'additionnent, pas les niveaux : $N$ sources identiques donnent $L_1 + 10\log N$.
- Repères : $\times 2 \Rightarrow +3\ \mathrm{dB}$ ; $\times 10 \Rightarrow +10\ \mathrm{dB}$ ; distance doublée $\Rightarrow -6\ \mathrm{dB}$.
- Atténuation : $A = L_1 - L_2 = 10\log\!\left(\dfrac{I_1}{I_2}\right)$, et $A = 20\log\!\left(\dfrac{d_2}{d_1}\right)$ pour l'atténuation géométrique. Les atténuations s'additionnent en dB.
- Effet Doppler : $f_R = f_E\dfrac{v}{v - v_S}$ à l'approche, $f_R = f_E\dfrac{v}{v + v_S}$ à l'éloignement.
- Mesure de vitesse par écho : $\Delta f = \dfrac{2 f_E v}{c}$ ; en astrophysique : $\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \dfrac{v}{c}$.